Calcul de 1/89 en base 3+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 3+89n se regroupent elles en cette série ?

1-3-9-27-81-65-17-51-64-14-42-37-22-66-20-60-2-6-18-54-73-41-34-13-39-28-84-74-44-43-40-31-4-12-36-19-57-82-68-26-78-56-79-59===88-86-80-62-8-24-72-38-25-75-47-52-67-23-69-29-87-83-71-35-16-48-55-76-50-61-5-15-45-46-49-58-85-77-53-70-32-7-21-63-11-33-10-30

Calculons 1/89 en base 3+89n (3, 92, 181, ...) :

1/89 en base 3 = 0,00002201201102020001211010221111001012202121===22220021021120202221011212001111221210020101...

1/89 en base 92 = 0,1-3-9-27-83-67-17-52-66-14-43-38-22-68-20-62-2-6-18-55-75-42-35-13-40-28-86-76-45-44-41-32-4-12-37-19-58-84-70-26-80-57-81-60===90-88-82-64-8-24-74-39-25-77-48-53-69-23-71-29-89-85-73-36-16-49-56-78-51-63-5-15-46-47-50-59-87-79-54-72-33-7-21-65-11-34-10-31...

1/89 en base 181 = 0,2-6-18-54-164-132-34-103-130-28-85-75-44-134-40-122-4-12-36-109-148-83-69-26-79-56-170-150-89-87-81-63-8-24-73-38-115-166-138-52-158-113-160-119===178-174-162-126-16-48-146-77-50-152-95-105-136-46-140-58-176-168-144-71-32-97-111-154-101-124-10-30-91-93-99-117-172-156-107-142-65-14-42-128-22-67-20-61...

Et de manière générale en base 3+89n :

[n][3n][9n][27n][2+81n][2+65n][17n][1+51n][2+64n][14n][1+42n][1+37n][22n][2+66n][20n][2+60n][2n][6n][18n][1+54n][2+73n][1+41n][1+34n][13n][1+39n][28n][2+84n][2+74n][1+44n][1+43n][1+40n][1+31n][4n][12n][1+36n][19n][1+57n][2+82n][2+68n][26n][2+78n][1+56n][2+79n][1+59n]===[2+88n][2+86n][2+80n][2+62n][8n][24n][2+72n][1+38n][25n][2+75n][1+47n][1+52n][2+67n][23n][2+69n][29n][2+87n][2+83n][2+71n][1+35n][16n][1+48n][1+55n][2+76n][1+50n][2+61n][5n][15n][1+45n][1+46n][1+49n][1+58n][2+85n][2+77n][1+53n][2+70n][1+32n][7n][21n][2+63n][11n][1+33n][10n][1+30n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 30+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 30+89n. La série est alors :

1-30-10-33-11-63-21-7-32-70-53-77-85-58-49-46-45-15-5-61-50-76-55-48-16-35-71-83-87-29-69-23-67-52-47-75-25-38-72-24-8-62-80-86===88-59-79-56-78-26-68-82-57-19-36-12-4-31-40-43-44-74-84-28-39-13-34-41-73-54-18-6-2-60-20-66-22-37-42-14-64-51-17-65-81-27-9-3

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 3+89n.

Calculons 1/89 en base : 30, 119, 208, ...(30+89n) :

1/89 en base 30 = 0,0-10-3-11-3-21-7-2-10-23-17-25-28-19-16-15-15-5-1-20-16-25-18-16-5-11-23-27-29-9-23-7-22-17-15-25-8-12-24-8-2-20-26-28===29-19-26-18-26-8-22-27-19-6-12-4-1-10-13-14-14-24-28-9-13-4-11-13-24-18-6-2-0-20-6-22-7-12-14-4-21-17-5-21-27-9-3-1...

1/89 en base 119 = 0,1-40-13-44-14-84-28-9-42-93-70-102-113-77-65-61-60-20-6-81-66-101-73-64-21-46-94-110-116-38-92-30-89-69-62-100-33-50-96-32-10-82-106-114===117-78-105-74-104-34-90-109-76-25-48-16-5-41-53-57-58-98-112-37-52-17-45-54-97-72-24-8-2-80-26-88-29-49-56-18-85-68-22-86-108-36-12-4...

1/89 en base 208 = 0,2-70-23-77-25-147-49-16-74-163-123-179-198-135-114-107-105-35-11-142-116-177-128-112-37-81-165-193-203-67-161-53-156-121-109-175-58-88-168-56-18-144-186-200===205-137-184-130-182-60-158-191-133-44-84-28-9-72-93-100-102-172-196-65-91-30-79-95-170-126-42-14-4-140-46-154-51-86-98-32-149-119-39-151-189-63-21-7...

Et de manière générale en base 30+89n :

[n][10+30n][3+10n][11+33n][3+11n][21+63n][7+21n][2+7n][10+32n][23+70n][17+53n][25+77n][28+85n][19+58n][16+49n][15+46n][15+45n][5+15n][1+5n][20+61n][16+50n][25+76n][18+55n][16+48n][5+16n][11+35n][23+71n][27+83n][29+87n][9+29n][23+69n][7+23n][22+67n][17+52n][15+47n][25+75n][8+25n][12+38n][24+72n][8+24n][2+8n][20+62n][26+80n][28+86n]===[29+88n][19+59n][26+79n][18+56n][26+78n][8+26n][22+68n][27+82n][19+57n][6+19n][12+36n][4+12n][1+4n][10+31n][13+40n][14+43n][14+44n][24+74n][28+84n][9+28n][13+39n][4+13n][11+34n][13+41n][24+73n][18+54n][6+18n][2+6n][2n][20+60n][6+20n][22+66n][7+22n][12+37n][14+42n][4+14n][21+64n][17+51n][5+17n][21+65n][27+81n][9+27n][3+9n][1+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 30 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 3+89n.

Constatons que 3x30 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89