Calcul de 1/89 en base 6+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 6+89n se regroupent elles en cette série ?

1-6-36-38-50-33-20-31-8-48-21-37-44-86-71-70-64-28-79-29-85-65-34-26-67-46-9-54-57-75-5-30-2-12-72-76-11-66-40-62-16-7-42-74===88-83-53-51-39-56-69-58-81-41-68-52-45-3-18-19-25-61-10-60-4-24-55-63-22-43-80-35-32-14-84-59-87-77-17-13-78-23-49-27-73-82-47-15

Calculons 1/89 en base 6+89n (6, 95, 184, ...) :

1/89 en base 6 = 0,00223212031225444151542143033502004504241024===55332343524330111404013412522053551051314531...

1/89 en base 95 = 0,1-6-38-40-53-35-21-33-8-51-22-39-46-91-75-74-68-29-84-30-90-69-36-27-71-49-9-57-60-80-5-32-2-12-76-81-11-70-42-66-17-7-44-78===93-88-56-54-41-59-73-61-86-43-72-55-48-3-19-20-26-65-10-64-4-25-58-67-23-45-85-37-34-14-89-62-92-82-18-13-83-24-52-28-77-87-50-16...

1/89 en base 184 = 0,2-12-74-78-103-68-41-64-16-99-43-76-90-177-146-144-132-57-163-59-175-134-70-53-138-95-18-111-117-155-10-62-4-24-148-157-22-136-82-128-33-14-86-152===181-171-109-105-80-115-142-119-167-84-140-107-93-6-37-39-51-126-20-124-8-49-113-130-45-88-165-72-66-28-173-121-179-159-35-26-161-47-101-55-150-169-97-31...

Et de manière générale en base 6+89n :

[n][6n][2+36n][2+38n][3+50n][2+33n][1+20n][2+31n][8n][3+48n][1+21n][2+37n][2+44n][5+86n][4+71n][4+70n][4+64n][1+28n][5+79n][1+29n][5+85n][4+65n][2+34n][1+26n][4+67n][3+46n][9n][3+54n][3+57n][5+75n][5n][2+30n][2n][12n][4+72n][5+76n][11n][4+66n][2+40n][4+62n][1+16n][7n][2+42n][4+74n]===[5+88n][5+83n][3+53n][3+51n][2+39n][3+56n][4+69n][3+58n][5+81n][2+41n][4+68n][3+52n][3+45n][3n][1+18n][1+19n][1+25n][4+61n][10n][4+60n][4n][1+24n][3+55n][4+63n][1+22n][2+43n][5+80n][2+35n][2+32n][14n][5+84n][3+59n][5+87n][5+77n][1+17n][13n][5+78n][1+23n][3+49n][1+27n][4+73n][5+82n][3+47n][1+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 6 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 15+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 15+89n. La série est alors :

1-15-47-82-73-27-49-23-78-13-17-77-87-59-84-14-32-35-80-43-22-63-55-24-4-60-10-61-25-19-18-3-45-52-68-41-81-58-69-56-39-51-53-83===88-74-42-7-16-62-40-66-11-76-72-12-2-30-5-75-57-54-9-46-67-26-34-65-85-29-79-28-64-70-71-86-44-37-21-48-8-31-20-33-50-38-36-6

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 6+89n.

Calculons 1/89 en base : 15, 104, 193, ...(15+89n) :

1/89 en base 15 = 0,0-2-7-13-12-4-8-3-13-2-2-12-14-9-14-2-5-5-13-7-3-10-9-4-0-10-1-10-4-3-3-0-7-8-11-6-13-9-11-9-6-8-8-13===14-12-7-1-2-10-6-11-1-12-12-2-0-5-0-12-9-9-1-7-11-4-5-10-14-4-13-4-10-11-11-14-7-6-3-8-1-5-3-5-8-6-6-1...

1/89 en base 104 = 0,1-17-54-95-85-31-57-26-91-15-19-89-101-68-98-16-37-40-93-50-25-73-64-28-4-70-11-71-29-22-21-3-52-60-79-47-94-67-80-65-45-59-61-96===102-86-49-8-18-72-46-77-12-88-84-14-2-35-5-87-66-63-10-53-78-30-39-75-99-33-92-32-74-81-82-100-51-43-24-56-9-36-23-38-58-44-42-7...

1/89 en base 193 = 0,2-32-101-177-158-58-106-49-169-28-36-166-188-127-182-30-69-75-173-93-47-136-119-52-8-130-21-132-54-41-39-6-97-112-147-88-175-125-149-121-84-110-114-179===190-160-91-15-34-134-86-143-23-164-156-26-4-65-10-162-123-117-19-99-145-56-73-140-184-62-171-60-138-151-153-186-95-80-45-104-17-67-43-71-108-82-78-13...

Et de manière générale en base 15+89n :

[n][2+15n][7+47n][13+82n][12+73n][4+27n][8+49n][3+23n][13+78n][2+13n][2+17n][12+77n][14+87n][9+59n][14+84n][2+14n][5+32n][5+35n][13+80n][7+43n][3+22n][10+63n][9+55n][4+24n][4n][10+60n][1+10n][10+61n][4+25n][3+19n][3+18n][3n][7+45n][8+52n][11+68n][6+41n][13+81n][9+58n][11+69n][9+56n][6+39n][8+51n][8+53n][13+83n]===[14+88n][12+74n][7+42n][1+7n][2+16n][10+62n][6+40n][11+66n][1+11n][12+76n][12+72n][2+12n][2n][5+30n][5n][12+75n][9+57n][9+54n][1+9n][7+46n][11+67n][4+26n][5+34n][10+65n][14+85n][4+29n][13+79n][4+28n][10+64n][11+70n][11+71n][14+86n][7+44n][6+37n][3+21n][8+48n][1+8n][5+31n][3+20n][5+33n][8+50n][6+38n][6+36n][1+6n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 6+89n.

Constatons que 6x15 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89