Calcul de 1/89 en base 7+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 7+89n se regroupent elles en cette série ?

1-7-49-76-87-75-80-26-4-28-18-37-81-33-53-15-16-23-72-59-57-43-34-60-64-3-21-58-50-83-47-62-78-12-84-54-22-65-10-70-45-48-69-38===88-82-40-13-2-14-9-63-85-61-71-52-8-56-36-74-73-66-17-30-32-46-55-29-25-86-68-31-39-6-42-27-11-77-5-35-67-24-79-19-44-41-20-51

Calculons 1/89 en base 7+89n (7, 96, 185, ...) :

1/89 en base 7 = 0,00356562021262411154432450143634606415053352===66310104645404255512234216523032060251613314...

1/89 en base 96 = 0,1-7-52-81-93-80-86-28-4-30-19-39-87-35-57-16-17-24-77-63-61-46-36-64-69-3-22-62-53-89-50-66-84-12-90-58-23-70-10-75-48-51-74-40===94-88-43-14-2-15-9-67-91-65-76-56-8-60-38-79-78-71-18-32-34-49-59-31-26-92-73-33-42-6-45-29-11-83-5-37-72-25-85-20-47-44-21-55...

1/89 en base 185 = 0,2-14-101-157-180-155-166-54-8-58-37-76-168-68-110-31-33-47-149-122-118-89-70-124-133-6-43-120-103-172-97-128-162-24-174-112-45-135-20-145-93-99-143-78===182-170-83-27-4-29-18-130-176-126-147-108-16-116-74-153-151-137-35-62-66-95-114-60-51-178-141-64-81-12-87-56-22-160-10-72-139-49-164-39-91-85-41-106...

Et de manière générale en base 7+89n :

[n][7n][3+49n][5+76n][6+87n][5+75n][6+80n][2+26n][4n][2+28n][1+18n][2+37n][6+81n][2+33n][4+53n][1+15n][1+16n][1+23n][5+72n][4+59n][4+57n][3+43n][2+34n][4+60n][5+64n][3n][1+21n][4+58n][3+50n][6+83n][3+47n][4+62n][6+78n][12n][6+84n][4+54n][1+22n][5+65n][10n][5+70n][3+45n][3+48n][5+69n][2+38n]===[6+88n][6+82n][3+40n][1+13n][2n][1+14n][9n][4+63n][6+85n][4+61n][5+71n][4+52n][8n][4+56n][2+36n][5+74n][5+73n][5+66n][1+17n][2+30n][2+32n][3+46n][4+55n][2+29n][1+25n][6+86n][5+68n][2+31n][3+39n][6n][3+42n][2+27n][11n][6+77n][5n][2+35n][5+67n][1+24n][6+79n][1+19n][3+44n][3+41n][1+20n][4+51n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 51+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 51+89n. La série est alors :

1-51-20-41-44-19-79-24-67-35-5-77-11-27-42-6-39-31-68-86-25-29-55-46-32-30-17-66-73-74-36-56-8-52-71-61-85-63-9-14-2-13-40-82===88-38-69-48-45-70-10-65-22-54-84-12-78-62-47-83-50-58-21-3-64-60-34-43-57-59-72-23-16-15-53-33-81-37-18-28-4-26-80-75-87-76-49-7

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 7+89n.

Calculons 1/89 en base : 51, 140, 229, ...(51+89n) :

1/89 en base 51 = 0,0-29-11-23-25-10-45-13-38-20-2-44-6-15-24-3-22-17-38-49-14-16-31-26-18-17-9-37-41-42-20-32-4-29-40-34-48-36-5-8-1-7-22-46===50-21-39-27-25-40-5-37-12-30-48-6-44-35-26-47-28-33-12-1-36-34-19-24-32-33-41-13-9-8-30-18-46-21-10-16-2-14-45-42-49-43-28-4...

1/89 en base 140 = 0,1-80-31-64-69-29-124-37-105-55-7-121-17-42-66-9-61-48-106-135-39-45-86-72-50-47-26-103-114-116-56-88-12-81-111-95-133-99-14-22-3-20-62-128===138-59-108-75-70-110-15-102-34-84-132-18-122-97-73-130-78-91-33-4-100-94-53-67-89-92-113-36-25-23-83-51-127-58-28-44-6-40-125-117-136-119-77-11...

1/89 en base 229 = 0,2-131-51-105-113-48-203-61-172-90-12-198-28-69-108-15-100-79-174-221-64-74-141-118-82-77-43-169-187-190-92-144-20-133-182-156-218-162-23-36-5-33-102-210===226-97-177-123-115-180-25-167-56-138-216-30-200-159-120-213-128-149-54-7-164-154-87-110-146-151-185-59-41-38-136-84-208-95-46-72-10-66-205-192-223-195-126-18...

Et de manière générale en base 51+89n :

[n][29+51n][11+20n][23+41n][25+44n][10+19n][45+79n][13+24n][38+67n][20+35n][2+5n][44+77n][6+11n][15+27n][24+42n][3+6n][22+39n][17+31n][38+68n][49+86n][14+25n][16+29n][31+55n][26+46n][18+32n][17+30n][9+17n][37+66n][41+73n][42+74n][20+36n][32+56n][4+8n][29+52n][40+71n][34+61n][48+85n][36+63n][5+9n][8+14n][1+2n][7+13n][22+40n][46+82n]===[50+88n][21+38n][39+69n][27+48n][25+45n][40+70n][5+10n][37+65n][12+22n][30+54n][48+84n][6+12n][44+78n][35+62n][26+47n][47+83n][28+50n][33+58n][12+21n][1+3n][36+64n][34+60n][19+34n][24+43n][32+57n][33+59n][41+72n][13+23n][9+16n][8+15n][30+53n][18+33n][46+81n][21+37n][10+18n][16+28n][2+4n][14+26n][45+80n][42+75n][49+87n][43+76n][28+49n][4+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 51 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 7+89n.

Constatons que 7x51 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89