Calcul de 1/89 en base 13+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 13+89n se regroupent elles en cette série ?

1-13-80-61-81-74-72-46-64-31-47-77-22-19-69-7-2-26-71-33-73-59-55-3-39-62-5-65-44-38-49-14-4-52-53-66-57-29-21-6-78-35-10-41===88-76-9-28-8-15-17-43-25-58-42-12-67-70-20-82-87-63-18-56-16-30-34-86-50-27-84-24-45-51-40-75-85-37-36-23-32-60-68-83-11-54-79-48

Calculons 1/89 en base 13+89n (13, 102, 191, ...) :

1/89 en base 13 = 0,0-1-11-8-11-10-10-6-9-4-6-11-3-2-10-1-0-3-10-4-10-8-8-0-5-9-0-9-6-5-7-2-0-7-7-9-8-4-3-0-11-5-1-5===12-11-1-4-1-2-2-6-3-8-6-1-9-10-2-11-12-9-2-8-2-4-4-12-7-3-12-3-6-7-5-10-12-5-5-3-4-8-9-12-1-7-11-7...

1/89 en base 102 = 0,1-14-91-69-92-84-82-52-73-35-53-88-25-21-79-8-2-29-81-37-83-67-63-3-44-71-5-74-50-43-56-16-4-59-60-75-65-33-24-6-89-40-11-46===100-87-10-32-9-17-19-49-28-66-48-13-76-80-22-93-99-72-20-64-18-34-38-98-57-30-96-27-51-58-45-85-97-42-41-26-36-68-77-95-12-61-90-55...

1/89 en base 191 = 0,2-27-171-130-173-158-154-98-137-66-100-165-47-40-148-15-4-55-152-70-156-126-118-6-83-133-10-139-94-81-105-30-8-111-113-141-122-62-45-12-167-75-21-87===188-163-19-60-17-32-36-92-53-124-90-25-143-150-42-175-186-135-38-120-34-64-72-184-107-57-180-51-96-109-85-160-182-79-77-49-68-128-145-178-23-115-169-103...

Et de manière générale en base 13+89n :

[n][1+13n][11+80n][8+61n][11+81n][10+74n][10+72n][6+46n][9+64n][4+31n][6+47n][11+77n][3+22n][2+19n][10+69n][1+7n][2n][3+26n][10+71n][4+33n][10+73n][8+59n][8+55n][3n][5+39n][9+62n][5n][9+65n][6+44n][5+38n][7+49n][2+14n][4n][7+52n][7+53n][9+66n][8+57n][4+29n][3+21n][6n][11+78n][5+35n][1+10n][5+41n]===[12+88n][11+76n][1+9n][4+28n][1+8n][2+15n][2+17n][6+43n][3+25n][8+58n][6+42n][1+12n][9+67n][10+70n][2+20n][11+82n][12+87n][9+63n][2+18n][8+56n][2+16n][4+30n][4+34n][12+86n][7+50n][3+27n][12+84n][3+24n][6+45n][7+51n][5+40n][10+75n][12+85n][5+37n][5+36n][3+23n][4+32n][8+60n][9+68n][12+83n][1+11n][7+54n][11+79n][7+48n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 48+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 48+89n. La série est alors :

1-48-79-54-11-83-68-60-32-23-36-37-85-75-40-51-45-24-84-27-50-86-34-30-16-56-18-63-87-82-20-70-67-12-42-58-25-43-17-15-8-28-9-76===88-41-10-35-78-6-21-29-57-66-53-52-4-14-49-38-44-65-5-62-39-3-55-59-73-33-71-26-2-7-69-19-22-77-47-31-64-46-72-74-81-61-80-13

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 13+89n.

Calculons 1/89 en base : 48, 137, 226, ...(48+89n) :

1/89 en base 48 = 0,0-25-42-29-5-44-36-32-17-12-19-19-45-40-21-27-24-12-45-14-26-46-18-16-8-30-9-33-46-44-10-37-36-6-22-31-13-23-9-8-4-15-4-40===47-22-5-18-42-3-11-15-30-35-28-28-2-7-26-20-23-35-2-33-21-1-29-31-39-17-38-14-1-3-37-10-11-41-25-16-34-24-38-39-43-32-43-7...

1/89 en base 137 = 0,1-73-121-83-16-127-104-92-49-35-55-56-130-115-61-78-69-36-129-41-76-132-52-46-24-86-27-96-133-126-30-107-103-18-64-89-38-66-26-23-12-43-13-116===135-63-15-53-120-9-32-44-87-101-81-80-6-21-75-58-67-100-7-95-60-4-84-90-112-50-109-40-3-10-106-29-33-118-72-47-98-70-110-113-124-93-123-20...

1/89 en base 226 = 0,2-121-200-137-27-210-172-152-81-58-91-93-215-190-101-129-114-60-213-68-126-218-86-76-40-142-45-159-220-208-50-177-170-30-106-147-63-109-43-38-20-71-22-192===223-104-25-88-198-15-53-73-144-167-134-132-10-35-124-96-111-165-12-157-99-7-139-149-185-83-180-66-5-17-175-48-55-195-119-78-162-116-182-187-205-154-203-33...

Et de manière générale en base 48+89n :

[n][25+48n][42+79n][29+54n][5+11n][44+83n][36+68n][32+60n][17+32n][12+23n][19+36n][19+37n][45+85n][40+75n][21+40n][27+51n][24+45n][12+24n][45+84n][14+27n][26+50n][46+86n][18+34n][16+30n][8+16n][30+56n][9+18n][33+63n][46+87n][44+82n][10+20n][37+70n][36+67n][6+12n][22+42n][31+58n][13+25n][23+43n][9+17n][8+15n][4+8n][15+28n][4+9n][40+76n]===[47+88n][22+41n][5+10n][18+35n][42+78n][3+6n][11+21n][15+29n][30+57n][35+66n][28+53n][28+52n][2+4n][7+14n][26+49n][20+38n][23+44n][35+65n][2+5n][33+62n][21+39n][1+3n][29+55n][31+59n][39+73n][17+33n][38+71n][14+26n][1+2n][3+7n][37+69n][10+19n][11+22n][41+77n][25+47n][16+31n][34+64n][24+46n][38+72n][39+74n][43+81n][32+61n][43+80n][7+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 48 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 13+89n.

Constatons que 13x48 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89