Calcul de 1/89 en base 14+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 14+89n se regroupent elles en cette série ?

1-14-18-74-57-86-47-35-45-7-9-37-73-43-68-62-67-48-49-63-81-66-34-31-78-24-69-76-85-33-17-60-39-12-79-38-87-61-53-30-64-6-84-19===88-75-71-15-32-3-42-54-44-82-80-52-16-46-21-27-22-41-40-26-8-23-55-58-11-65-20-13-4-56-72-29-50-77-10-51-2-28-36-59-25-83-5-70

Calculons 1/89 en base 14+89n (14, 103, 192, ...) :

1/89 en base 14 = 0,0-2-2-11-8-13-7-5-7-1-1-5-11-6-10-9-10-7-7-9-12-10-5-4-12-3-10-11-13-5-2-9-6-1-12-5-13-9-8-4-10-0-13-2===13-11-11-2-5-0-6-8-6-12-12-8-2-7-3-4-3-6-6-4-1-3-8-9-1-10-3-2-0-8-11-4-7-12-1-8-0-4-5-9-3-13-0-11...

1/89 en base 103 = 0,1-16-20-85-65-99-54-40-52-8-10-42-84-49-78-71-77-55-56-72-93-76-39-35-90-27-79-87-98-38-19-69-45-13-91-43-100-70-61-34-74-6-97-21===101-86-82-17-37-3-48-62-50-94-92-60-18-53-24-31-25-47-46-30-9-26-63-67-12-75-23-15-4-64-83-33-57-89-11-59-2-32-41-68-28-96-5-81...

1/89 en base 192 = 0,2-30-38-159-122-185-101-75-97-15-19-79-157-92-146-133-144-103-105-135-174-142-73-66-168-51-148-163-183-71-36-129-84-25-170-81-187-131-114-64-138-12-181-40===189-161-153-32-69-6-90-116-94-176-172-112-34-99-45-58-47-88-86-56-17-49-118-125-23-140-43-28-8-120-155-62-107-166-21-110-4-60-77-127-53-179-10-151...

Et de manière générale en base 14+89n :

[n][2+14n][2+18n][11+74n][8+57n][13+86n][7+47n][5+35n][7+45n][1+7n][1+9n][5+37n][11+73n][6+43n][10+68n][9+62n][10+67n][7+48n][7+49n][9+63n][12+81n][10+66n][5+34n][4+31n][12+78n][3+24n][10+69n][11+76n][13+85n][5+33n][2+17n][9+60n][6+39n][1+12n][12+79n][5+38n][13+87n][9+61n][8+53n][4+30n][10+64n][6n][13+84n][2+19n]===[13+88n][11+75n][11+71n][2+15n][5+32n][3n][6+42n][8+54n][6+44n][12+82n][12+80n][8+52n][2+16n][7+46n][3+21n][4+27n][3+22n][6+41n][6+40n][4+26n][1+8n][3+23n][8+55n][9+58n][1+11n][10+65n][3+20n][2+13n][4n][8+56n][11+72n][4+29n][7+50n][12+77n][1+10n][8+51n][2n][4+28n][5+36n][9+59n][3+25n][13+83n][5n][11+70n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 70+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 70+89n. La série est alors :

1-70-5-83-25-59-36-28-2-51-10-77-50-29-72-56-4-13-20-65-11-58-55-23-8-26-40-41-22-27-21-46-16-52-80-82-44-54-42-3-32-15-71-75===88-19-84-6-64-30-53-61-87-38-79-12-39-60-17-33-85-76-69-24-78-31-34-66-81-63-49-48-67-62-68-43-73-37-9-7-45-35-47-86-57-74-18-14

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 14+89n.

Calculons 1/89 en base : 70, 159, 248, ...(70+89n) :

1/89 en base 70 = 0,0-55-3-65-19-46-28-22-1-40-7-60-39-22-56-44-3-10-15-51-8-45-43-18-6-20-31-32-17-21-16-36-12-40-62-64-34-42-33-2-25-11-55-58===69-14-66-4-50-23-41-47-68-29-62-9-30-47-13-25-66-59-54-18-61-24-26-51-63-49-38-37-52-48-53-33-57-29-7-5-35-27-36-67-44-58-14-11...

1/89 en base 159 = 0,1-125-8-148-44-105-64-50-3-91-17-137-89-51-128-100-7-23-35-116-19-103-98-41-14-46-71-73-39-48-37-82-28-92-142-146-78-96-75-5-57-26-126-133===157-33-150-10-114-53-94-108-155-67-141-21-69-107-30-58-151-135-123-42-139-55-60-117-144-112-87-85-119-110-121-76-130-66-16-12-80-62-83-153-101-132-32-25...

1/89 en base 248 = 0,2-195-13-231-69-164-100-78-5-142-27-214-139-80-200-156-11-36-55-181-30-161-153-64-22-72-111-114-61-75-58-128-44-144-222-228-122-150-117-8-89-41-197-208===245-52-234-16-178-83-147-169-242-105-220-33-108-167-47-91-236-211-192-66-217-86-94-183-225-175-136-133-186-172-189-119-203-103-25-19-125-97-130-239-158-206-50-39...

Et de manière générale en base 70+89n :

[n][55+70n][3+5n][65+83n][19+25n][46+59n][28+36n][22+28n][1+2n][40+51n][7+10n][60+77n][39+50n][22+29n][56+72n][44+56n][3+4n][10+13n][15+20n][51+65n][8+11n][45+58n][43+55n][18+23n][6+8n][20+26n][31+40n][32+41n][17+22n][21+27n][16+21n][36+46n][12+16n][40+52n][62+80n][64+82n][34+44n][42+54n][33+42n][2+3n][25+32n][11+15n][55+71n][58+75n]===[69+88n][14+19n][66+84n][4+6n][50+64n][23+30n][41+53n][47+61n][68+87n][29+38n][62+79n][9+12n][30+39n][47+60n][13+17n][25+33n][66+85n][59+76n][54+69n][18+24n][61+78n][24+31n][26+34n][51+66n][63+81n][49+63n][38+49n][37+48n][52+67n][48+62n][53+68n][33+43n][57+73n][29+37n][7+9n][5+7n][35+45n][27+35n][36+47n][67+86n][44+57n][58+74n][14+18n][11+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 70 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 14+89n.

Constatons que 14x70 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89