Calcul de 1/89 en base 19+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 19+89n se regroupent elles en cette série ?

1-19-5-6-25-30-36-61-2-38-10-12-50-60-72-33-4-76-20-24-11-31-55-66-8-63-40-48-22-62-21-43-16-37-80-7-44-35-42-86-32-74-71-14===88-70-84-83-64-59-53-28-87-51-79-77-39-29-17-56-85-13-69-65-78-58-34-23-81-26-49-41-67-27-68-46-73-52-9-82-45-54-47-3-57-15-18-75

Calculons 1/89 en base 19+89n (19, 108, 197, ...) :

1/89 en base 19 = 0,0-4-1-1-5-6-7-13-0-8-2-2-10-12-15-7-0-16-4-5-2-6-11-14-1-13-8-10-4-13-4-9-3-7-17-1-9-7-8-18-6-15-15-2===18-14-17-17-13-12-11-5-18-10-16-16-8-6-3-11-18-2-14-13-16-12-7-4-17-5-10-8-14-5-14-9-15-11-1-17-9-11-10-0-12-3-3-16...

1/89 en base 108 = 0,1-23-6-7-30-36-43-74-2-46-12-14-60-72-87-40-4-92-24-29-13-37-66-80-9-76-48-58-26-75-25-52-19-44-97-8-53-42-50-104-38-89-86-16===106-84-101-100-77-71-64-33-105-61-95-93-47-35-20-67-103-15-83-78-94-70-41-27-98-31-59-49-81-32-82-55-88-63-10-99-54-65-57-3-69-18-21-91...

1/89 en base 197 = 0,2-42-11-13-55-66-79-135-4-84-22-26-110-132-159-73-8-168-44-53-24-68-121-146-17-139-88-106-48-137-46-95-35-81-177-15-97-77-92-190-70-163-157-30===194-154-185-183-141-130-117-61-192-112-174-170-86-64-37-123-188-28-152-143-172-128-75-50-179-57-108-90-148-59-150-101-161-115-19-181-99-119-104-6-126-33-39-166...

Et de manière générale en base 19+89n :

[n][4+19n][1+5n][1+6n][5+25n][6+30n][7+36n][13+61n][2n][8+38n][2+10n][2+12n][10+50n][12+60n][15+72n][7+33n][4n][16+76n][4+20n][5+24n][2+11n][6+31n][11+55n][14+66n][1+8n][13+63n][8+40n][10+48n][4+22n][13+62n][4+21n][9+43n][3+16n][7+37n][17+80n][1+7n][9+44n][7+35n][8+42n][18+86n][6+32n][15+74n][15+71n][2+14n]===[18+88n][14+70n][17+84n][17+83n][13+64n][12+59n][11+53n][5+28n][18+87n][10+51n][16+79n][16+77n][8+39n][6+29n][3+17n][11+56n][18+85n][2+13n][14+69n][13+65n][16+78n][12+58n][7+34n][4+23n][17+81n][5+26n][10+49n][8+41n][14+67n][5+27n][14+68n][9+46n][15+73n][11+52n][1+9n][17+82n][9+45n][11+54n][10+47n][3n][12+57n][3+15n][3+18n][16+75n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 19 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 75+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 75+89n. La série est alors :

1-75-18-15-57-3-47-54-45-82-9-52-73-46-68-27-67-41-49-26-81-23-34-58-78-65-69-13-85-56-17-29-39-77-79-51-87-28-53-59-64-83-84-70===88-14-71-74-32-86-42-35-44-7-80-37-16-43-21-62-22-48-40-63-8-66-55-31-11-24-20-76-4-33-72-60-50-12-10-38-2-61-36-30-25-6-5-19

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 19+89n.

Calculons 1/89 en base : 75, 164, 253, ...(75+89n) :

1/89 en base 75 = 0,0-63-15-12-48-2-39-45-37-69-7-43-61-38-57-22-56-34-41-21-68-19-28-48-65-54-58-10-71-47-14-24-32-64-66-42-73-23-44-49-53-69-70-58===74-11-59-62-26-72-35-29-37-5-67-31-13-36-17-52-18-40-33-53-6-55-46-26-9-20-16-64-3-27-60-50-42-10-8-32-1-51-30-25-21-5-4-16...

1/89 en base 164 = 0,1-138-33-27-105-5-86-99-82-151-16-95-134-84-125-49-123-75-90-47-149-42-62-106-143-119-127-23-156-103-31-53-71-141-145-93-160-51-97-108-117-152-154-128===162-25-130-136-58-158-77-64-81-12-147-68-29-79-38-114-40-88-73-116-14-121-101-57-20-44-36-140-7-60-132-110-92-22-18-70-3-112-66-55-46-11-9-35...

1/89 en base 253 = 0,2-213-51-42-162-8-133-153-127-233-25-147-207-130-193-76-190-116-139-73-230-65-96-164-221-184-196-36-241-159-48-82-110-218-224-144-247-79-150-167-181-235-238-198===250-39-201-210-90-244-119-99-125-19-227-105-45-122-59-176-62-136-113-179-22-187-156-88-31-68-56-216-11-93-204-170-142-34-28-108-5-173-102-85-71-17-14-54...

Et de manière générale en base 75+89n :

[n][63+75n][15+18n][12+15n][48+57n][2+3n][39+47n][45+54n][37+45n][69+82n][7+9n][43+52n][61+73n][38+46n][57+68n][22+27n][56+67n][34+41n][41+49n][21+26n][68+81n][19+23n][28+34n][48+58n][65+78n][54+65n][58+69n][10+13n][71+85n][47+56n][14+17n][24+29n][32+39n][64+77n][66+79n][42+51n][73+87n][23+28n][44+53n][49+59n][53+64n][69+83n][70+84n][58+70n]===[74+88n][11+14n][59+71n][62+74n][26+32n][72+86n][35+42n][29+35n][37+44n][5+7n][67+80n][31+37n][13+16n][36+43n][17+21n][52+62n][18+22n][40+48n][33+40n][53+63n][6+8n][55+66n][46+55n][26+31n][9+11n][20+24n][16+20n][64+76n][3+4n][27+33n][60+72n][50+60n][42+50n][10+12n][8+10n][32+38n][1+2n][51+61n][30+36n][25+30n][21+25n][5+6n][4+5n][16+19n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 75 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 19+89n.

Constatons que 19x75 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89