Calcul de 1/89 en base 23+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 23+89n se regroupent elles en cette série ?

1-23-84-63-25-41-53-62-2-46-79-37-50-82-17-35-4-3-69-74-11-75-34-70-8-6-49-59-22-61-68-51-16-12-9-29-44-33-47-13-32-24-18-58===88-66-5-26-64-48-36-27-87-43-10-52-39-7-72-54-85-86-20-15-78-14-55-19-81-83-40-30-67-28-21-38-73-77-80-60-45-56-42-76-57-65-71-31

Calculons 1/89 en base 23+89n (23, 112, 201, ...) :

1/89 en base 23 = 0,0-5-21-16-6-10-13-16-0-11-20-9-12-21-4-9-1-0-17-19-2-19-8-18-2-1-12-15-5-15-17-13-4-3-2-7-11-8-12-3-8-6-4-14===22-17-1-6-16-12-9-6-22-11-2-13-10-1-18-13-21-22-5-3-20-3-14-4-20-21-10-7-17-7-5-9-18-19-20-15-11-14-10-19-14-16-18-8...

1/89 en base 112 = 0,1-28-105-79-31-51-66-78-2-57-99-46-62-103-21-44-5-3-86-93-13-94-42-88-10-7-61-74-27-76-85-64-20-15-11-36-55-41-59-16-40-30-22-72===110-83-6-32-80-60-45-33-109-54-12-65-49-8-90-67-106-108-25-18-98-17-69-23-101-104-50-37-84-35-26-47-91-96-100-75-56-70-52-95-71-81-89-39...

1/89 en base 201 = 0,2-51-189-142-56-92-119-140-4-103-178-83-112-185-38-79-9-6-155-167-24-169-76-158-18-13-110-133-49-137-153-115-36-27-20-65-99-74-106-29-72-54-40-130===198-149-11-58-144-108-81-60-196-97-22-117-88-15-162-121-191-194-45-33-176-31-124-42-182-187-90-67-151-63-47-85-164-173-180-135-101-126-94-171-128-146-160-70...

Et de manière générale en base 23+89n :

[n][5+23n][21+84n][16+63n][6+25n][10+41n][13+53n][16+62n][2n][11+46n][20+79n][9+37n][12+50n][21+82n][4+17n][9+35n][1+4n][3n][17+69n][19+74n][2+11n][19+75n][8+34n][18+70n][2+8n][1+6n][12+49n][15+59n][5+22n][15+61n][17+68n][13+51n][4+16n][3+12n][2+9n][7+29n][11+44n][8+33n][12+47n][3+13n][8+32n][6+24n][4+18n][14+58n]===[22+88n][17+66n][1+5n][6+26n][16+64n][12+48n][9+36n][6+27n][22+87n][11+43n][2+10n][13+52n][10+39n][1+7n][18+72n][13+54n][21+85n][22+86n][5+20n][3+15n][20+78n][3+14n][14+55n][4+19n][20+81n][21+83n][10+40n][7+30n][17+67n][7+28n][5+21n][9+38n][18+73n][19+77n][20+80n][15+60n][11+45n][14+56n][10+42n][19+76n][14+57n][16+65n][18+71n][8+31n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 23 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 31+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 31+89n. La série est alors :

1-31-71-65-57-76-42-56-45-60-80-77-73-38-21-28-67-30-40-83-81-19-55-14-78-15-20-86-85-54-72-7-39-52-10-43-87-27-36-48-64-26-5-66===88-58-18-24-32-13-47-33-44-29-9-12-16-51-68-61-22-59-49-6-8-70-34-75-11-74-69-3-4-35-17-82-50-37-79-46-2-62-53-41-25-63-84-23

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 23+89n.

Calculons 1/89 en base : 31, 120, 209, ...(31+89n) :

1/89 en base 31 = 0,0-10-24-22-19-26-14-19-15-20-27-26-25-13-7-9-23-10-13-28-28-6-19-4-27-5-6-29-29-18-25-2-13-18-3-14-30-9-12-16-22-9-1-22===30-20-6-8-11-4-16-11-15-10-3-4-5-17-23-21-7-20-17-2-2-24-11-26-3-25-24-1-1-12-5-28-17-12-27-16-0-21-18-14-8-21-29-8...

1/89 en base 120 = 0,1-41-95-87-76-102-56-75-60-80-107-103-98-51-28-37-90-40-53-111-109-25-74-18-105-20-26-115-114-72-97-9-52-70-13-57-117-36-48-64-86-35-6-88===118-78-24-32-43-17-63-44-59-39-12-16-21-68-91-82-29-79-66-8-10-94-45-101-14-99-93-4-5-47-22-110-67-49-106-62-2-83-71-55-33-84-113-31...

1/89 en base 209 = 0,2-72-166-152-133-178-98-131-105-140-187-180-171-89-49-65-157-70-93-194-190-44-129-32-183-35-46-201-199-126-169-16-91-122-23-100-204-63-84-112-150-61-11-154===206-136-42-56-75-30-110-77-103-68-21-28-37-119-159-143-51-138-115-14-18-164-79-176-25-173-162-7-9-82-39-192-117-86-185-108-4-145-124-96-58-147-197-54...

Et de manière générale en base 31+89n :

[n][10+31n][24+71n][22+65n][19+57n][26+76n][14+42n][19+56n][15+45n][20+60n][27+80n][26+77n][25+73n][13+38n][7+21n][9+28n][23+67n][10+30n][13+40n][28+83n][28+81n][6+19n][19+55n][4+14n][27+78n][5+15n][6+20n][29+86n][29+85n][18+54n][25+72n][2+7n][13+39n][18+52n][3+10n][14+43n][30+87n][9+27n][12+36n][16+48n][22+64n][9+26n][1+5n][22+66n]===[30+88n][20+58n][6+18n][8+24n][11+32n][4+13n][16+47n][11+33n][15+44n][10+29n][3+9n][4+12n][5+16n][17+51n][23+68n][21+61n][7+22n][20+59n][17+49n][2+6n][2+8n][24+70n][11+34n][26+75n][3+11n][25+74n][24+69n][1+3n][1+4n][12+35n][5+17n][28+82n][17+50n][12+37n][27+79n][16+46n][2n][21+62n][18+53n][14+41n][8+25n][21+63n][29+84n][8+23n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 31 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 23+89n.

Constatons que 23x31 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89