Calcul de 1/89 en base 24+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 24+89n se regroupent elles en cette série ?

1-24-42-29-73-61-40-70-78-3-72-37-87-41-5-31-32-56-9-38-22-83-34-15-4-7-79-27-25-66-71-13-45-12-21-59-81-75-20-35-39-46-36-63===88-65-47-60-16-28-49-19-11-86-17-52-2-48-84-58-57-33-80-51-67-6-55-74-85-82-10-62-64-23-18-76-44-77-68-30-8-14-69-54-50-43-53-26

Calculons 1/89 en base 24+89n (24, 113, 202, ...) :

1/89 en base 24 = 0,0-6-11-7-19-16-10-18-21-0-19-9-23-11-1-8-8-15-2-10-5-22-9-4-1-1-21-7-6-17-19-3-12-3-5-15-21-20-5-9-10-12-9-16===23-17-12-16-4-7-13-5-2-23-4-14-0-12-22-15-15-8-21-13-18-1-14-19-22-22-2-16-17-6-4-20-11-20-18-8-2-3-18-14-13-11-14-7...

1/89 en base 113 = 0,1-30-53-36-92-77-50-88-99-3-91-46-110-52-6-39-40-71-11-48-27-105-43-19-5-8-100-34-31-83-90-16-57-15-26-74-102-95-25-44-49-58-45-79===111-82-59-76-20-35-62-24-13-109-21-66-2-60-106-73-72-41-101-64-85-7-69-93-107-104-12-78-81-29-22-96-55-97-86-38-10-17-87-68-63-54-67-33...

1/89 en base 202 = 0,2-54-95-65-165-138-90-158-177-6-163-83-197-93-11-70-72-127-20-86-49-188-77-34-9-15-179-61-56-149-161-29-102-27-47-133-183-170-45-79-88-104-81-142===199-147-106-136-36-63-111-43-24-195-38-118-4-108-190-131-129-74-181-115-152-13-124-167-192-186-22-140-145-52-40-172-99-174-154-68-18-31-156-122-113-97-120-59...

Et de manière générale en base 24+89n :

[n][6+24n][11+42n][7+29n][19+73n][16+61n][10+40n][18+70n][21+78n][3n][19+72n][9+37n][23+87n][11+41n][1+5n][8+31n][8+32n][15+56n][2+9n][10+38n][5+22n][22+83n][9+34n][4+15n][1+4n][1+7n][21+79n][7+27n][6+25n][17+66n][19+71n][3+13n][12+45n][3+12n][5+21n][15+59n][21+81n][20+75n][5+20n][9+35n][10+39n][12+46n][9+36n][16+63n]===[23+88n][17+65n][12+47n][16+60n][4+16n][7+28n][13+49n][5+19n][2+11n][23+86n][4+17n][14+52n][2n][12+48n][22+84n][15+58n][15+57n][8+33n][21+80n][13+51n][18+67n][1+6n][14+55n][19+74n][22+85n][22+82n][2+10n][16+62n][17+64n][6+23n][4+18n][20+76n][11+44n][20+77n][18+68n][8+30n][2+8n][3+14n][18+69n][14+54n][13+50n][11+43n][14+53n][7+26n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 24 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 26+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 26+89n. La série est alors :

1-26-53-43-50-54-69-14-8-30-68-77-44-76-18-23-64-62-10-82-85-74-55-6-67-51-80-33-57-58-84-48-2-52-17-86-11-19-49-28-16-60-47-65===88-63-36-46-39-35-20-75-81-59-21-12-45-13-71-66-25-27-79-7-4-15-34-83-22-38-9-56-32-31-5-41-87-37-72-3-78-70-40-61-73-29-42-24

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 24+89n.

Calculons 1/89 en base : 26, 115, 204, ...(26+89n) :

1/89 en base 26 = 0,0-7-15-12-14-15-20-4-2-8-19-22-12-22-5-6-18-18-2-23-24-21-16-1-19-14-23-9-16-16-24-14-0-15-4-25-3-5-14-8-4-17-13-18===25-18-10-13-11-10-5-21-23-17-6-3-13-3-20-19-7-7-23-2-1-4-9-24-6-11-2-16-9-9-1-11-25-10-21-0-22-20-11-17-21-8-12-7...

1/89 en base 115 = 0,1-33-68-55-64-69-89-18-10-38-87-99-56-98-23-29-82-80-12-105-109-95-71-7-86-65-103-42-73-74-108-62-2-67-21-111-14-24-63-36-20-77-60-83===113-81-46-59-50-45-25-96-104-76-27-15-58-16-91-85-32-34-102-9-5-19-43-107-28-49-11-72-41-40-6-52-112-47-93-3-100-90-51-78-94-37-54-31...

1/89 en base 204 = 0,2-59-121-98-114-123-158-32-18-68-155-176-100-174-41-52-146-142-22-187-194-169-126-13-153-116-183-75-130-132-192-110-4-119-38-197-25-43-112-64-36-137-107-148===201-144-82-105-89-80-45-171-185-135-48-27-103-29-162-151-57-61-181-16-9-34-77-190-50-87-20-128-73-71-11-93-199-84-165-6-178-160-91-139-167-66-96-55...

Et de manière générale en base 26+89n :

[n][7+26n][15+53n][12+43n][14+50n][15+54n][20+69n][4+14n][2+8n][8+30n][19+68n][22+77n][12+44n][22+76n][5+18n][6+23n][18+64n][18+62n][2+10n][23+82n][24+85n][21+74n][16+55n][1+6n][19+67n][14+51n][23+80n][9+33n][16+57n][16+58n][24+84n][14+48n][2n][15+52n][4+17n][25+86n][3+11n][5+19n][14+49n][8+28n][4+16n][17+60n][13+47n][18+65n]===[25+88n][18+63n][10+36n][13+46n][11+39n][10+35n][5+20n][21+75n][23+81n][17+59n][6+21n][3+12n][13+45n][3+13n][20+71n][19+66n][7+25n][7+27n][23+79n][2+7n][1+4n][4+15n][9+34n][24+83n][6+22n][11+38n][2+9n][16+56n][9+32n][9+31n][1+5n][11+41n][25+87n][10+37n][21+72n][3n][22+78n][20+70n][11+40n][17+61n][21+73n][8+29n][12+42n][7+24n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 26 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 24+89n.

Constatons que 24x26 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89