Calcul de 1/89 en base 27+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 27+89n se regroupent elles en cette série ?

1-27-17-14-22-60-18-41-39-74-40-12-57-26-79-86-8-38-47-23-87-35-55-61-45-58-53-7-11-30-9-65-64-37-20-6-73-13-84-43-4-19-68-56===88-62-72-75-67-29-71-48-50-15-49-77-32-63-10-3-81-51-42-66-2-54-34-28-44-31-36-82-78-59-80-24-25-52-69-83-16-76-5-46-85-70-21-33

Calculons 1/89 en base 27+89n (27, 116, 205, ...) :

1/89 en base 27 = 0,0-8-5-4-6-18-5-12-11-22-12-3-17-7-23-26-2-11-14-6-26-10-16-18-13-17-16-2-3-9-2-19-19-11-6-1-22-3-25-13-1-5-20-16===26-18-21-22-20-8-21-14-15-4-14-23-9-19-3-0-24-15-12-20-0-16-10-8-13-9-10-24-23-17-24-7-7-15-20-25-4-23-1-13-25-21-6-10...

1/89 en base 116 = 0,1-35-22-18-28-78-23-53-50-96-52-15-74-33-102-112-10-49-61-29-113-45-71-79-58-75-69-9-14-39-11-84-83-48-26-7-95-16-109-56-5-24-88-72===114-80-93-97-87-37-92-62-65-19-63-100-41-82-13-3-105-66-54-86-2-70-44-36-57-40-46-106-101-76-104-31-32-67-89-108-20-99-6-59-110-91-27-43...

1/89 en base 205 = 0,2-62-39-32-50-138-41-94-89-170-92-27-131-59-181-198-18-87-108-52-200-80-126-140-103-133-122-16-25-69-20-149-147-85-46-13-168-29-193-99-9-43-156-128===202-142-165-172-154-66-163-110-115-34-112-177-73-145-23-6-186-117-96-152-4-124-78-64-101-71-82-188-179-135-184-55-57-119-158-191-36-175-11-105-195-161-48-76...

Et de manière générale en base 27+89n :

[n][8+27n][5+17n][4+14n][6+22n][18+60n][5+18n][12+41n][11+39n][22+74n][12+40n][3+12n][17+57n][7+26n][23+79n][26+86n][2+8n][11+38n][14+47n][6+23n][26+87n][10+35n][16+55n][18+61n][13+45n][17+58n][16+53n][2+7n][3+11n][9+30n][2+9n][19+65n][19+64n][11+37n][6+20n][1+6n][22+73n][3+13n][25+84n][13+43n][1+4n][5+19n][20+68n][16+56n]===[26+88n][18+62n][21+72n][22+75n][20+67n][8+29n][21+71n][14+48n][15+50n][4+15n][14+49n][23+77n][9+32n][19+63n][3+10n][3n][24+81n][15+51n][12+42n][20+66n][2n][16+54n][10+34n][8+28n][13+44n][9+31n][10+36n][24+82n][23+78n][17+59n][24+80n][7+24n][7+25n][15+52n][20+69n][25+83n][4+16n][23+76n][1+5n][13+46n][25+85n][21+70n][6+21n][10+33n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 27 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 33+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 33+89n. La série est alors :

1-33-21-70-85-46-5-76-16-83-69-52-25-24-80-59-78-82-36-31-44-28-34-54-2-66-42-51-81-3-10-63-32-77-49-15-50-48-71-29-67-75-72-62===88-56-68-19-4-43-84-13-73-6-20-37-64-65-9-30-11-7-53-58-45-61-55-35-87-23-47-38-8-86-79-26-57-12-40-74-39-41-18-60-22-14-17-27

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 27+89n.

Calculons 1/89 en base : 33, 122, 211, ...(33+89n) :

1/89 en base 33 = 0,0-12-7-25-31-17-1-28-5-30-25-19-9-8-29-21-28-30-13-11-16-10-12-20-0-24-15-18-30-1-3-23-11-28-18-5-18-17-26-10-24-27-26-22===32-20-25-7-1-15-31-4-27-2-7-13-23-24-3-11-4-2-19-21-16-22-20-12-32-8-17-14-2-31-29-9-21-4-14-27-14-15-6-22-8-5-6-10...

1/89 en base 122 = 0,1-45-28-95-116-63-6-104-21-113-94-71-34-32-109-80-106-112-49-42-60-38-46-74-2-90-57-69-111-4-13-86-43-105-67-20-68-65-97-39-91-102-98-84===120-76-93-26-5-58-115-17-100-8-27-50-87-89-12-41-15-9-72-79-61-83-75-47-119-31-64-52-10-117-108-35-78-16-54-101-53-56-24-82-30-19-23-37...

1/89 en base 211 = 0,2-78-49-165-201-109-11-180-37-196-163-123-59-56-189-139-184-194-85-73-104-66-80-128-4-156-99-120-192-7-23-149-75-182-116-35-118-113-168-68-158-177-170-146===208-132-161-45-9-101-199-30-173-14-47-87-151-154-21-71-26-16-125-137-106-144-130-82-206-54-111-90-18-203-187-61-135-28-94-175-92-97-42-142-52-33-40-64...

Et de manière générale en base 33+89n :

[n][12+33n][7+21n][25+70n][31+85n][17+46n][1+5n][28+76n][5+16n][30+83n][25+69n][19+52n][9+25n][8+24n][29+80n][21+59n][28+78n][30+82n][13+36n][11+31n][16+44n][10+28n][12+34n][20+54n][2n][24+66n][15+42n][18+51n][30+81n][1+3n][3+10n][23+63n][11+32n][28+77n][18+49n][5+15n][18+50n][17+48n][26+71n][10+29n][24+67n][27+75n][26+72n][22+62n]===[32+88n][20+56n][25+68n][7+19n][1+4n][15+43n][31+84n][4+13n][27+73n][2+6n][7+20n][13+37n][23+64n][24+65n][3+9n][11+30n][4+11n][2+7n][19+53n][21+58n][16+45n][22+61n][20+55n][12+35n][32+87n][8+23n][17+47n][14+38n][2+8n][31+86n][29+79n][9+26n][21+57n][4+12n][14+40n][27+74n][14+39n][15+41n][6+18n][22+60n][8+22n][5+14n][6+17n][10+27n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 33 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 27+89n.

Constatons que 27x33 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89