Calcul de 1/89 en base 28+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 28+89n se regroupent elles en cette série ?

1-28-72-58-22-82-71-30-39-24-49-37-57-83-10-13-8-46-42-19-87-33-34-62-45-14-36-29-11-41-80-15-64-12-69-63-73-86-5-51-4-23-21-54===88-61-17-31-67-7-18-59-50-65-40-52-32-6-79-76-81-43-47-70-2-56-55-27-44-75-53-60-78-48-9-74-25-77-20-26-16-3-84-38-85-66-68-35

Calculons 1/89 en base 28+89n (28, 117, 206, ...) :

1/89 en base 28 = 0,0-8-22-18-6-25-22-9-12-7-15-11-17-26-3-4-2-14-13-5-27-10-10-19-14-4-11-9-3-12-25-4-20-3-21-19-22-27-1-16-1-7-6-16===27-19-5-9-21-2-5-18-15-20-12-16-10-1-24-23-25-13-14-22-0-17-17-8-13-23-16-18-24-15-2-23-7-24-6-8-5-0-26-11-26-20-21-11...

1/89 en base 117 = 0,1-36-94-76-28-107-93-39-51-31-64-48-74-109-13-17-10-60-55-24-114-43-44-81-59-18-47-38-14-53-105-19-84-15-90-82-95-113-6-67-5-30-27-70===115-80-22-40-88-9-23-77-65-85-52-68-42-7-103-99-106-56-61-92-2-73-72-35-57-98-69-78-102-63-11-97-32-101-26-34-21-3-110-49-111-86-89-46...

1/89 en base 206 = 0,2-64-166-134-50-189-164-69-90-55-113-85-131-192-23-30-18-106-97-43-201-76-78-143-104-32-83-67-25-94-185-34-148-27-159-145-168-199-11-118-9-53-48-124===203-141-39-71-155-16-41-136-115-150-92-120-74-13-182-175-187-99-108-162-4-129-127-62-101-173-122-138-180-111-20-171-57-178-46-60-37-6-194-87-196-152-157-81...

Et de manière générale en base 28+89n :

[n][8+28n][22+72n][18+58n][6+22n][25+82n][22+71n][9+30n][12+39n][7+24n][15+49n][11+37n][17+57n][26+83n][3+10n][4+13n][2+8n][14+46n][13+42n][5+19n][27+87n][10+33n][10+34n][19+62n][14+45n][4+14n][11+36n][9+29n][3+11n][12+41n][25+80n][4+15n][20+64n][3+12n][21+69n][19+63n][22+73n][27+86n][1+5n][16+51n][1+4n][7+23n][6+21n][16+54n]===[27+88n][19+61n][5+17n][9+31n][21+67n][2+7n][5+18n][18+59n][15+50n][20+65n][12+40n][16+52n][10+32n][1+6n][24+79n][23+76n][25+81n][13+43n][14+47n][22+70n][2n][17+56n][17+55n][8+27n][13+44n][23+75n][16+53n][18+60n][24+78n][15+48n][2+9n][23+74n][7+25n][24+77n][6+20n][8+26n][5+16n][3n][26+84n][11+38n][26+85n][20+66n][21+68n][11+35n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 28 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 35+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 35+89n. La série est alors :

1-35-68-66-85-38-84-3-16-26-20-77-25-74-9-48-78-60-53-75-44-27-55-56-2-70-47-43-81-76-79-6-32-52-40-65-50-59-18-7-67-31-17-61===88-54-21-23-4-51-5-86-73-63-69-12-64-15-80-41-11-29-36-14-45-62-34-33-87-19-42-46-8-13-10-83-57-37-49-24-39-30-71-82-22-58-72-28

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 28+89n.

Calculons 1/89 en base : 35, 124, 213, ...(35+89n) :

1/89 en base 35 = 0,0-13-26-25-33-14-33-1-6-10-7-30-9-29-3-18-30-23-20-29-17-10-21-22-0-27-18-16-31-29-31-2-12-20-15-25-19-23-7-2-26-12-6-23===34-21-8-9-1-20-1-33-28-24-27-4-25-5-31-16-4-11-14-5-17-24-13-12-34-7-16-18-3-5-3-32-22-14-19-9-15-11-27-32-8-22-28-11...

1/89 en base 124 = 0,1-48-94-91-118-52-117-4-22-36-27-107-34-103-12-66-108-83-73-104-61-37-76-78-2-97-65-59-112-105-110-8-44-72-55-90-69-82-25-9-93-43-23-84===122-75-29-32-5-71-6-119-101-87-96-16-89-20-111-57-15-40-50-19-62-86-47-45-121-26-58-64-11-18-13-115-79-51-68-33-54-41-98-114-30-80-100-39...

1/89 en base 213 = 0,2-83-162-157-203-90-201-7-38-62-47-184-59-177-21-114-186-143-126-179-105-64-131-134-4-167-112-102-193-181-189-14-76-124-95-155-119-141-43-16-160-74-40-145===210-129-50-55-9-122-11-205-174-150-165-28-153-35-191-98-26-69-86-33-107-148-81-78-208-45-100-110-19-31-23-198-136-88-117-57-93-71-169-196-52-138-172-67...

Et de manière générale en base 35+89n :

[n][13+35n][26+68n][25+66n][33+85n][14+38n][33+84n][1+3n][6+16n][10+26n][7+20n][30+77n][9+25n][29+74n][3+9n][18+48n][30+78n][23+60n][20+53n][29+75n][17+44n][10+27n][21+55n][22+56n][2n][27+70n][18+47n][16+43n][31+81n][29+76n][31+79n][2+6n][12+32n][20+52n][15+40n][25+65n][19+50n][23+59n][7+18n][2+7n][26+67n][12+31n][6+17n][23+61n]===[34+88n][21+54n][8+21n][9+23n][1+4n][20+51n][1+5n][33+86n][28+73n][24+63n][27+69n][4+12n][25+64n][5+15n][31+80n][16+41n][4+11n][11+29n][14+36n][5+14n][17+45n][24+62n][13+34n][12+33n][34+87n][7+19n][16+42n][18+46n][3+8n][5+13n][3+10n][32+83n][22+57n][14+37n][19+49n][9+24n][15+39n][11+30n][27+71n][32+82n][8+22n][22+58n][28+72n][11+28n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 35 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 28+89n.

Constatons que 28x35 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89