Calcul de 1/89 en base 29+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 29+89n se regroupent elles en cette série ?

1-29-40-3-87-31-9-83-4-27-71-12-81-35-36-65-16-19-17-48-57-51-55-82-64-76-68-14-50-26-42-61-78-37-5-56-22-15-79-66-45-59-20-46===88-60-49-86-2-58-80-6-85-62-18-77-8-54-53-24-73-70-72-41-32-38-34-7-25-13-21-75-39-63-47-28-11-52-84-33-67-74-10-23-44-30-69-43

Calculons 1/89 en base 29+89n (29, 118, 207, ...) :

1/89 en base 29 = 0,0-9-13-0-28-10-2-27-1-8-23-3-26-11-11-21-5-6-5-15-18-16-17-26-20-24-22-4-16-8-13-19-25-12-1-18-7-4-25-21-14-19-6-14===28-19-15-28-0-18-26-1-27-20-5-25-2-17-17-7-23-22-23-13-10-12-11-2-8-4-6-24-12-20-15-9-3-16-27-10-21-24-3-7-14-9-22-14...

1/89 en base 118 = 0,1-38-53-3-115-41-11-110-5-35-94-15-107-46-47-86-21-25-22-63-75-67-72-108-84-100-90-18-66-34-55-80-103-49-6-74-29-19-104-87-59-78-26-60===116-79-64-114-2-76-106-7-112-82-23-102-10-71-70-31-96-92-95-54-42-50-45-9-33-17-27-99-51-83-62-37-14-68-111-43-88-98-13-30-58-39-91-57...

1/89 en base 207 = 0,2-67-93-6-202-72-20-193-9-62-165-27-188-81-83-151-37-44-39-111-132-118-127-190-148-176-158-32-116-60-97-141-181-86-11-130-51-34-183-153-104-137-46-106===204-139-113-200-4-134-186-13-197-144-41-179-18-125-123-55-169-162-167-95-74-88-79-16-58-30-48-174-90-146-109-65-25-120-195-76-155-172-23-53-102-69-160-100...

Et de manière générale en base 29+89n :

[n][9+29n][13+40n][3n][28+87n][10+31n][2+9n][27+83n][1+4n][8+27n][23+71n][3+12n][26+81n][11+35n][11+36n][21+65n][5+16n][6+19n][5+17n][15+48n][18+57n][16+51n][17+55n][26+82n][20+64n][24+76n][22+68n][4+14n][16+50n][8+26n][13+42n][19+61n][25+78n][12+37n][1+5n][18+56n][7+22n][4+15n][25+79n][21+66n][14+45n][19+59n][6+20n][14+46n]===[28+88n][19+60n][15+49n][28+86n][2n][18+58n][26+80n][1+6n][27+85n][20+62n][5+18n][25+77n][2+8n][17+54n][17+53n][7+24n][23+73n][22+70n][23+72n][13+41n][10+32n][12+38n][11+34n][2+7n][8+25n][4+13n][6+21n][24+75n][12+39n][20+63n][15+47n][9+28n][3+11n][16+52n][27+84n][10+33n][21+67n][24+74n][3+10n][7+23n][14+44n][9+30n][22+69n][14+43n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 29 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 43+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 43+89n. La série est alors :

1-43-69-30-44-23-10-74-67-33-84-52-11-28-47-63-39-75-21-13-25-7-34-38-32-41-72-70-73-24-53-54-8-77-18-62-85-6-80-58-2-86-49-60===88-46-20-59-45-66-79-15-22-56-5-37-78-61-42-26-50-14-68-76-64-82-55-51-57-48-17-19-16-65-36-35-81-12-71-27-4-83-9-31-87-3-40-29

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 29+89n.

Calculons 1/89 en base : 43, 132, 221, ...(43+89n) :

1/89 en base 43 = 0,0-20-33-14-21-11-4-35-32-15-40-25-5-13-22-30-18-36-10-6-12-3-16-18-15-19-34-33-35-11-25-26-3-37-8-29-41-2-38-28-0-41-23-28===42-22-9-28-21-31-38-7-10-27-2-17-37-29-20-12-24-6-32-36-30-39-26-24-27-23-8-9-7-31-17-16-39-5-34-13-1-40-4-14-42-1-19-14...

1/89 en base 132 = 0,1-63-102-44-65-34-14-109-99-48-124-77-16-41-69-93-57-111-31-19-37-10-50-56-47-60-106-103-108-35-78-80-11-114-26-91-126-8-118-86-2-127-72-88===130-68-29-87-66-97-117-22-32-83-7-54-115-90-62-38-74-20-100-112-94-121-81-75-84-71-25-28-23-96-53-51-120-17-105-40-5-123-13-45-129-4-59-43...

1/89 en base 221 = 0,2-106-171-74-109-57-24-183-166-81-208-129-27-69-116-156-96-186-52-32-62-17-84-94-79-101-178-173-181-59-131-134-19-191-44-153-211-14-198-144-4-213-121-148===218-114-49-146-111-163-196-37-54-139-12-91-193-151-104-64-124-34-168-188-158-203-136-126-141-119-42-47-39-161-89-86-201-29-176-67-9-206-22-76-216-7-99-72...

Et de manière générale en base 43+89n :

[n][20+43n][33+69n][14+30n][21+44n][11+23n][4+10n][35+74n][32+67n][15+33n][40+84n][25+52n][5+11n][13+28n][22+47n][30+63n][18+39n][36+75n][10+21n][6+13n][12+25n][3+7n][16+34n][18+38n][15+32n][19+41n][34+72n][33+70n][35+73n][11+24n][25+53n][26+54n][3+8n][37+77n][8+18n][29+62n][41+85n][2+6n][38+80n][28+58n][2n][41+86n][23+49n][28+60n]===[42+88n][22+46n][9+20n][28+59n][21+45n][31+66n][38+79n][7+15n][10+22n][27+56n][2+5n][17+37n][37+78n][29+61n][20+42n][12+26n][24+50n][6+14n][32+68n][36+76n][30+64n][39+82n][26+55n][24+51n][27+57n][23+48n][8+17n][9+19n][7+16n][31+65n][17+36n][16+35n][39+81n][5+12n][34+71n][13+27n][1+4n][40+83n][4+9n][14+31n][42+87n][1+3n][19+40n][14+29n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 43 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 29+89n.

Constatons que 29x43 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89