Calcul de 1/89 en base 38+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 38+89n se regroupent elles en cette série ?

1-38-20-48-44-70-79-65-67-54-5-12-11-62-42-83-39-58-68-3-25-60-55-43-32-59-17-23-73-15-36-33-8-37-71-28-85-26-9-75-2-76-40-7===88-51-69-41-45-19-10-24-22-35-84-77-78-27-47-6-50-31-21-86-64-29-34-46-57-30-72-66-16-74-53-56-81-52-18-61-4-63-80-14-87-13-49-82

Calculons 1/89 en base 38+89n (38, 127, 216, ...) :

1/89 en base 38 = 0,0-16-8-20-18-29-33-27-28-23-2-5-4-26-17-35-16-24-29-1-10-25-23-18-13-25-7-9-31-6-15-14-3-15-30-11-36-11-3-32-0-32-17-2===37-21-29-17-19-8-4-10-9-14-35-32-33-11-20-2-21-13-8-36-27-12-14-19-24-12-30-28-6-31-22-23-34-22-7-26-1-26-34-5-37-5-20-35...

1/89 en base 127 = 0,1-54-28-68-62-99-112-92-95-77-7-17-15-88-59-118-55-82-97-4-35-85-78-61-45-84-24-32-104-21-51-47-11-52-101-39-121-37-12-107-2-108-57-9===125-72-98-58-64-27-14-34-31-49-119-109-111-38-67-8-71-44-29-122-91-41-48-65-81-42-102-94-22-105-75-79-115-74-25-87-5-89-114-19-124-18-69-117...

1/89 en base 216 = 0,2-92-48-116-106-169-191-157-162-131-12-29-26-150-101-201-94-140-165-7-60-145-133-104-77-143-41-55-177-36-87-80-19-89-172-67-206-63-21-182-4-184-97-16===213-123-167-99-109-46-24-58-53-84-203-186-189-65-114-14-121-75-50-208-155-70-82-111-138-72-174-160-38-179-128-135-196-126-43-148-9-152-194-33-211-31-118-199...

Et de manière générale en base 38+89n :

[n][16+38n][8+20n][20+48n][18+44n][29+70n][33+79n][27+65n][28+67n][23+54n][2+5n][5+12n][4+11n][26+62n][17+42n][35+83n][16+39n][24+58n][29+68n][1+3n][10+25n][25+60n][23+55n][18+43n][13+32n][25+59n][7+17n][9+23n][31+73n][6+15n][15+36n][14+33n][3+8n][15+37n][30+71n][11+28n][36+85n][11+26n][3+9n][32+75n][2n][32+76n][17+40n][2+7n]===[37+88n][21+51n][29+69n][17+41n][19+45n][8+19n][4+10n][10+24n][9+22n][14+35n][35+84n][32+77n][33+78n][11+27n][20+47n][2+6n][21+50n][13+31n][8+21n][36+86n][27+64n][12+29n][14+34n][19+46n][24+57n][12+30n][30+72n][28+66n][6+16n][31+74n][22+53n][23+56n][34+81n][22+52n][7+18n][26+61n][1+4n][26+63n][34+80n][5+14n][37+87n][5+13n][20+49n][35+82n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 38 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 82+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 82+89n. La série est alors :

1-82-49-13-87-14-80-63-4-61-18-52-81-56-53-74-16-66-72-30-57-46-34-29-64-86-21-31-50-6-47-27-78-77-84-35-22-24-10-19-45-41-69-51===88-7-40-76-2-75-9-26-85-28-71-37-8-33-36-15-73-23-17-59-32-43-55-60-25-3-68-58-39-83-42-62-11-12-5-54-67-65-79-70-44-48-20-38

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 38+89n.

Calculons 1/89 en base : 82, 171, 260, ...(82+89n) :

1/89 en base 82 = 0,0-75-45-11-80-12-73-58-3-56-16-47-74-51-48-68-14-60-66-27-52-42-31-26-58-79-19-28-46-5-43-24-71-70-77-32-20-22-9-17-41-37-63-46===81-6-36-70-1-69-8-23-78-25-65-34-7-30-33-13-67-21-15-54-29-39-50-55-23-2-62-53-35-76-38-57-10-11-4-49-61-59-72-64-40-44-18-35...

1/89 en base 171 = 0,1-157-94-24-167-26-153-121-7-117-34-99-155-107-101-142-30-126-138-57-109-88-65-55-122-165-40-59-96-11-90-51-149-147-161-67-42-46-19-36-86-78-132-97===169-13-76-146-3-144-17-49-163-53-136-71-15-63-69-28-140-44-32-113-61-82-105-115-48-5-130-111-74-159-80-119-21-23-9-103-128-124-151-134-84-92-38-73...

1/89 en base 260 = 0,2-239-143-37-254-40-233-184-11-178-52-151-236-163-154-216-46-192-210-87-166-134-99-84-186-251-61-90-146-17-137-78-227-224-245-102-64-70-29-55-131-119-201-148===257-20-116-222-5-219-26-75-248-81-207-108-23-96-105-43-213-67-49-172-93-125-160-175-73-8-198-169-113-242-122-181-32-35-14-157-195-189-230-204-128-140-58-111...

Et de manière générale en base 82+89n :

[n][75+82n][45+49n][11+13n][80+87n][12+14n][73+80n][58+63n][3+4n][56+61n][16+18n][47+52n][74+81n][51+56n][48+53n][68+74n][14+16n][60+66n][66+72n][27+30n][52+57n][42+46n][31+34n][26+29n][58+64n][79+86n][19+21n][28+31n][46+50n][5+6n][43+47n][24+27n][71+78n][70+77n][77+84n][32+35n][20+22n][22+24n][9+10n][17+19n][41+45n][37+41n][63+69n][46+51n]===[81+88n][6+7n][36+40n][70+76n][1+2n][69+75n][8+9n][23+26n][78+85n][25+28n][65+71n][34+37n][7+8n][30+33n][33+36n][13+15n][67+73n][21+23n][15+17n][54+59n][29+32n][39+43n][50+55n][55+60n][23+25n][2+3n][62+68n][53+58n][35+39n][76+83n][38+42n][57+62n][10+11n][11+12n][4+5n][49+54n][61+67n][59+65n][72+79n][64+70n][40+44n][44+48n][18+20n][35+38n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 82 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 38+89n.

Constatons que 38x82 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89