Calcul de 1/89 en base 41+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 41+89n se regroupent elles en cette série ?

1-41-79-35-11-6-68-29-32-66-36-52-85-14-40-38-45-65-84-62-50-3-34-59-16-33-18-26-87-7-20-19-67-77-42-31-25-46-17-74-8-61-9-13===88-48-10-54-78-83-21-60-57-23-53-37-4-75-49-51-44-24-5-27-39-86-55-30-73-56-71-63-2-82-69-70-22-12-47-58-64-43-72-15-81-28-80-76

Calculons 1/89 en base 41+89n (41, 130, 219, ...) :

1/89 en base 41 = 0,0-18-36-16-5-2-31-13-14-30-16-23-39-6-18-17-20-29-38-28-23-1-15-27-7-15-8-11-40-3-9-8-30-35-19-14-11-21-7-34-3-28-4-5===40-22-4-24-35-38-9-27-26-10-24-17-1-34-22-23-20-11-2-12-17-39-25-13-33-25-32-29-0-37-31-32-10-5-21-26-29-19-33-6-37-12-36-35...

1/89 en base 130 = 0,1-59-115-51-16-8-99-42-46-96-52-75-124-20-58-55-65-94-122-90-73-4-49-86-23-48-26-37-127-10-29-27-97-112-61-45-36-67-24-108-11-89-13-18===128-70-14-78-113-121-30-87-83-33-77-54-5-109-71-74-64-35-7-39-56-125-80-43-106-81-103-92-2-119-100-102-32-17-68-84-93-62-105-21-118-40-116-111...

1/89 en base 219 = 0,2-100-194-86-27-14-167-71-78-162-88-127-209-34-98-93-110-159-206-152-123-7-83-145-39-81-44-63-214-17-49-46-164-189-103-76-61-113-41-182-19-150-22-31===216-118-24-132-191-204-51-147-140-56-130-91-9-184-120-125-108-59-12-66-95-211-135-73-179-137-174-155-4-201-169-172-54-29-115-142-157-105-177-36-199-68-196-187...

Et de manière générale en base 41+89n :

[n][18+41n][36+79n][16+35n][5+11n][2+6n][31+68n][13+29n][14+32n][30+66n][16+36n][23+52n][39+85n][6+14n][18+40n][17+38n][20+45n][29+65n][38+84n][28+62n][23+50n][1+3n][15+34n][27+59n][7+16n][15+33n][8+18n][11+26n][40+87n][3+7n][9+20n][8+19n][30+67n][35+77n][19+42n][14+31n][11+25n][21+46n][7+17n][34+74n][3+8n][28+61n][4+9n][5+13n]===[40+88n][22+48n][4+10n][24+54n][35+78n][38+83n][9+21n][27+60n][26+57n][10+23n][24+53n][17+37n][1+4n][34+75n][22+49n][23+51n][20+44n][11+24n][2+5n][12+27n][17+39n][39+86n][25+55n][13+30n][33+73n][25+56n][32+71n][29+63n][2n][37+82n][31+69n][32+70n][10+22n][5+12n][21+47n][26+58n][29+64n][19+43n][33+72n][6+15n][37+81n][12+28n][36+80n][35+76n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 41 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 76+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 76+89n. La série est alors :

1-76-80-28-81-15-72-43-64-58-47-12-22-70-69-82-2-63-71-56-73-30-55-86-39-27-5-24-44-51-49-75-4-37-53-23-57-60-21-83-78-54-10-48===88-13-9-61-8-74-17-46-25-31-42-77-67-19-20-7-87-26-18-33-16-59-34-3-50-62-84-65-45-38-40-14-85-52-36-66-32-29-68-6-11-35-79-41

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 41+89n.

Calculons 1/89 en base : 76, 165, 254, ...(76+89n) :

1/89 en base 76 = 0,0-64-68-23-69-12-61-36-54-49-40-10-18-59-58-70-1-53-60-47-62-25-46-73-33-23-4-20-37-43-41-64-3-31-45-19-48-51-17-70-66-46-8-40===75-11-7-52-6-63-14-39-21-26-35-65-57-16-17-5-74-22-15-28-13-50-29-2-42-52-71-55-38-32-34-11-72-44-30-56-27-24-58-5-9-29-67-35...

1/89 en base 165 = 0,1-140-148-51-150-27-133-79-118-107-87-22-40-129-127-152-3-116-131-103-135-55-101-159-72-50-9-44-81-94-90-139-7-68-98-42-105-111-38-153-144-100-18-88===163-24-16-113-14-137-31-85-46-57-77-142-124-35-37-12-161-48-33-61-29-109-63-5-92-114-155-120-83-70-74-25-157-96-66-122-59-53-126-11-20-64-146-76...

1/89 en base 254 = 0,2-216-228-79-231-42-205-122-182-165-134-34-62-199-196-234-5-179-202-159-208-85-156-245-111-77-14-68-125-145-139-214-11-105-151-65-162-171-59-236-222-154-28-136===251-37-25-174-22-211-48-131-71-88-119-219-191-54-57-19-248-74-51-94-45-168-97-8-142-176-239-185-128-108-114-39-242-148-102-188-91-82-194-17-31-99-225-117...

Et de manière générale en base 76+89n :

[n][64+76n][68+80n][23+28n][69+81n][12+15n][61+72n][36+43n][54+64n][49+58n][40+47n][10+12n][18+22n][59+70n][58+69n][70+82n][1+2n][53+63n][60+71n][47+56n][62+73n][25+30n][46+55n][73+86n][33+39n][23+27n][4+5n][20+24n][37+44n][43+51n][41+49n][64+75n][3+4n][31+37n][45+53n][19+23n][48+57n][51+60n][17+21n][70+83n][66+78n][46+54n][8+10n][40+48n]===[75+88n][11+13n][7+9n][52+61n][6+8n][63+74n][14+17n][39+46n][21+25n][26+31n][35+42n][65+77n][57+67n][16+19n][17+20n][5+7n][74+87n][22+26n][15+18n][28+33n][13+16n][50+59n][29+34n][2+3n][42+50n][52+62n][71+84n][55+65n][38+45n][32+38n][34+40n][11+14n][72+85n][44+52n][30+36n][56+66n][27+32n][24+29n][58+68n][5+6n][9+11n][29+35n][67+79n][35+41n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 76 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 41+89n.

Constatons que 41x76 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89