Calcul de 1/89 en base 46+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 46+89n se regroupent elles en cette série ?

1-46-69-59-44-66-10-15-67-56-84-37-11-61-47-26-39-14-21-76-25-82-34-51-32-48-72-19-73-65-53-35-8-12-18-27-85-83-80-31-2-3-49-29===88-43-20-30-45-23-79-74-22-33-5-52-78-28-42-63-50-75-68-13-64-7-55-38-57-41-17-70-16-24-36-54-81-77-71-62-4-6-9-58-87-86-40-60

Calculons 1/89 en base 46+89n (46, 135, 224, ...) :

1/89 en base 46 = 0,0-23-35-30-22-34-5-7-34-28-43-19-5-31-24-13-20-7-10-39-12-42-17-26-16-24-37-9-37-33-27-18-4-6-9-13-43-42-41-16-1-1-25-14===45-22-10-15-23-11-40-38-11-17-2-26-40-14-21-32-25-38-35-6-33-3-28-19-29-21-8-36-8-12-18-27-41-39-36-32-2-3-4-29-44-44-20-31...

1/89 en base 135 = 0,1-69-104-89-66-100-15-22-101-84-127-56-16-92-71-39-59-21-31-115-37-124-51-77-48-72-109-28-110-98-80-53-12-18-27-40-128-125-121-47-3-4-74-43===133-65-30-45-68-34-119-112-33-50-7-78-118-42-63-95-75-113-103-19-97-10-83-57-86-62-25-106-24-36-54-81-122-116-107-94-6-9-13-87-131-130-60-91...

1/89 en base 224 = 0,2-115-173-148-110-166-25-37-168-140-211-93-27-153-118-65-98-35-52-191-62-206-85-128-80-120-181-47-183-163-133-88-20-30-45-67-213-208-201-78-5-7-123-72===221-108-50-75-113-57-198-186-55-83-12-130-196-70-105-158-125-188-171-32-161-17-138-95-143-103-42-176-40-60-90-135-203-193-178-156-10-15-22-145-218-216-100-151...

Et de manière générale en base 46+89n :

[n][23+46n][35+69n][30+59n][22+44n][34+66n][5+10n][7+15n][34+67n][28+56n][43+84n][19+37n][5+11n][31+61n][24+47n][13+26n][20+39n][7+14n][10+21n][39+76n][12+25n][42+82n][17+34n][26+51n][16+32n][24+48n][37+72n][9+19n][37+73n][33+65n][27+53n][18+35n][4+8n][6+12n][9+18n][13+27n][43+85n][42+83n][41+80n][16+31n][1+2n][1+3n][25+49n][14+29n]===[45+88n][22+43n][10+20n][15+30n][23+45n][11+23n][40+79n][38+74n][11+22n][17+33n][2+5n][26+52n][40+78n][14+28n][21+42n][32+63n][25+50n][38+75n][35+68n][6+13n][33+64n][3+7n][28+55n][19+38n][29+57n][21+41n][8+17n][36+70n][8+16n][12+24n][18+36n][27+54n][41+81n][39+77n][36+71n][32+62n][2+4n][3+6n][4+9n][29+58n][44+87n][44+86n][20+40n][31+60n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 46 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 60+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 60+89n. La série est alors :

1-60-40-86-87-58-9-6-4-62-71-77-81-54-36-24-16-70-17-41-57-38-55-7-64-13-68-75-50-63-42-28-78-52-5-33-22-74-79-23-45-30-20-43===88-29-49-3-2-31-80-83-85-27-18-12-8-35-53-65-73-19-72-48-32-51-34-82-25-76-21-14-39-26-47-61-11-37-84-56-67-15-10-66-44-59-69-46

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 46+89n.

Calculons 1/89 en base : 60, 149, 238, ...(60+89n) :

1/89 en base 60 = 0,0-40-26-57-58-39-6-4-2-41-47-51-54-36-24-16-10-47-11-27-38-25-37-4-43-8-45-50-33-42-28-18-52-35-3-22-14-49-53-15-30-20-13-28===59-19-33-2-1-20-53-55-57-18-12-8-5-23-35-43-49-12-48-32-21-34-22-55-16-51-14-9-26-17-31-41-7-24-56-37-45-10-6-44-29-39-46-31...

1/89 en base 149 = 0,1-100-66-143-145-97-15-10-6-103-118-128-135-90-60-40-26-117-28-68-95-63-92-11-107-21-113-125-83-105-70-46-130-87-8-55-36-123-132-38-75-50-33-71===147-48-82-5-3-51-133-138-142-45-30-20-13-58-88-108-122-31-120-80-53-85-56-137-41-127-35-23-65-43-78-102-18-61-140-93-112-25-16-110-73-98-115-77...

1/89 en base 238 = 0,2-160-106-229-232-155-24-16-10-165-189-205-216-144-96-64-42-187-45-109-152-101-147-18-171-34-181-200-133-168-112-74-208-139-13-88-58-197-211-61-120-80-53-114===235-77-131-8-5-82-213-221-227-72-48-32-21-93-141-173-195-50-192-128-85-136-90-219-66-203-56-37-104-69-125-163-29-98-224-149-179-40-26-176-117-157-184-123...

Et de manière générale en base 60+89n :

[n][40+60n][26+40n][57+86n][58+87n][39+58n][6+9n][4+6n][2+4n][41+62n][47+71n][51+77n][54+81n][36+54n][24+36n][16+24n][10+16n][47+70n][11+17n][27+41n][38+57n][25+38n][37+55n][4+7n][43+64n][8+13n][45+68n][50+75n][33+50n][42+63n][28+42n][18+28n][52+78n][35+52n][3+5n][22+33n][14+22n][49+74n][53+79n][15+23n][30+45n][20+30n][13+20n][28+43n]===[59+88n][19+29n][33+49n][2+3n][1+2n][20+31n][53+80n][55+83n][57+85n][18+27n][12+18n][8+12n][5+8n][23+35n][35+53n][43+65n][49+73n][12+19n][48+72n][32+48n][21+32n][34+51n][22+34n][55+82n][16+25n][51+76n][14+21n][9+14n][26+39n][17+26n][31+47n][41+61n][7+11n][24+37n][56+84n][37+56n][45+67n][10+15n][6+10n][44+66n][29+44n][39+59n][46+69n][31+46n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 60 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 46+89n.

Constatons que 46x60 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89