Calcul de 1/89 en base 54+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 54+89n se regroupent elles en cette série ?

1-54-68-23-85-51-84-86-16-63-20-12-25-15-9-41-78-29-53-14-44-62-55-33-2-19-47-46-81-13-79-83-32-37-40-24-50-30-18-82-67-58-17-28===88-35-21-66-4-38-5-3-73-26-69-77-64-74-80-48-11-60-36-75-45-27-34-56-87-70-42-43-8-76-10-6-57-52-49-65-39-59-71-7-22-31-72-61

Calculons 1/89 en base 54+89n (54, 143, 232, ...) :

1/89 en base 54 = 0,0-32-41-13-51-30-50-52-9-38-12-7-15-9-5-24-47-17-32-8-26-37-33-20-1-11-28-27-49-7-47-50-19-22-24-14-30-18-10-49-40-35-10-16===53-21-12-40-2-23-3-1-44-15-41-46-38-44-48-29-6-36-21-45-27-16-20-33-52-42-25-26-4-46-6-3-34-31-29-39-23-35-43-4-13-18-43-37...

1/89 en base 143 = 0,1-86-109-36-136-81-134-138-25-101-32-19-40-24-14-65-125-46-85-22-70-99-88-53-3-30-75-73-130-20-126-133-51-59-64-38-80-48-28-131-107-93-27-44===141-56-33-106-6-61-8-4-117-41-110-123-102-118-128-77-17-96-57-120-72-43-54-89-139-112-67-69-12-122-16-9-91-83-78-104-62-94-114-11-35-49-115-98...

1/89 en base 232 = 0,2-140-177-59-221-132-218-224-41-164-52-31-65-39-23-106-203-75-138-36-114-161-143-86-5-49-122-119-211-33-205-216-83-96-104-62-130-78-46-213-174-151-44-72===229-91-54-172-10-99-13-7-190-67-179-200-166-192-208-125-28-156-93-195-117-70-88-145-226-182-109-112-20-198-26-15-148-135-127-169-101-153-185-18-57-80-187-159...

Et de manière générale en base 54+89n :

[n][32+54n][41+68n][13+23n][51+85n][30+51n][50+84n][52+86n][9+16n][38+63n][12+20n][7+12n][15+25n][9+15n][5+9n][24+41n][47+78n][17+29n][32+53n][8+14n][26+44n][37+62n][33+55n][20+33n][1+2n][11+19n][28+47n][27+46n][49+81n][7+13n][47+79n][50+83n][19+32n][22+37n][24+40n][14+24n][30+50n][18+30n][10+18n][49+82n][40+67n][35+58n][10+17n][16+28n]===[53+88n][21+35n][12+21n][40+66n][2+4n][23+38n][3+5n][1+3n][44+73n][15+26n][41+69n][46+77n][38+64n][44+74n][48+80n][29+48n][6+11n][36+60n][21+36n][45+75n][27+45n][16+27n][20+34n][33+56n][52+87n][42+70n][25+42n][26+43n][4+8n][46+76n][6+10n][3+6n][34+57n][31+52n][29+49n][39+65n][23+39n][35+59n][43+71n][4+7n][13+22n][18+31n][43+72n][37+61n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 54 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 61+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 61+89n. La série est alors :

1-61-72-31-22-7-71-59-39-65-49-52-57-6-10-76-8-43-42-70-87-56-34-27-45-75-36-60-11-48-80-74-64-77-69-26-73-3-5-38-4-66-21-35===88-28-17-58-67-82-18-30-50-24-40-37-32-83-79-13-81-46-47-19-2-33-55-62-44-14-53-29-78-41-9-15-25-12-20-63-16-86-84-51-85-23-68-54

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 54+89n.

Calculons 1/89 en base : 61, 150, 239, ...(61+89n) :

1/89 en base 61 = 0,0-41-49-21-15-4-48-40-26-44-33-35-39-4-6-52-5-29-28-47-59-38-23-18-30-51-24-41-7-32-54-50-43-52-47-17-50-2-3-26-2-45-14-23===60-19-11-39-45-56-12-20-34-16-27-25-21-56-54-8-55-31-32-13-1-22-37-42-30-9-36-19-53-28-6-10-17-8-13-43-10-58-57-34-58-15-46-37...

1/89 en base 150 = 0,1-102-121-52-37-11-119-99-65-109-82-87-96-10-16-128-13-72-70-117-146-94-57-45-75-126-60-101-18-80-134-124-107-129-116-43-123-5-8-64-6-111-35-58===148-47-28-97-112-138-30-50-84-40-67-62-53-139-133-21-136-77-79-32-3-55-92-104-74-23-89-48-131-69-15-25-42-20-33-106-26-144-141-85-143-38-114-91...

1/89 en base 239 = 0,2-163-193-83-59-18-190-158-104-174-131-139-153-16-26-204-21-115-112-187-233-150-91-72-120-201-96-161-29-128-214-198-171-206-185-69-196-8-13-102-10-177-56-93===236-75-45-155-179-220-48-80-134-64-107-99-85-222-212-34-217-123-126-51-5-88-147-166-118-37-142-77-209-110-24-40-67-32-53-169-42-230-225-136-228-61-182-145...

Et de manière générale en base 61+89n :

[n][41+61n][49+72n][21+31n][15+22n][4+7n][48+71n][40+59n][26+39n][44+65n][33+49n][35+52n][39+57n][4+6n][6+10n][52+76n][5+8n][29+43n][28+42n][47+70n][59+87n][38+56n][23+34n][18+27n][30+45n][51+75n][24+36n][41+60n][7+11n][32+48n][54+80n][50+74n][43+64n][52+77n][47+69n][17+26n][50+73n][2+3n][3+5n][26+38n][2+4n][45+66n][14+21n][23+35n]===[60+88n][19+28n][11+17n][39+58n][45+67n][56+82n][12+18n][20+30n][34+50n][16+24n][27+40n][25+37n][21+32n][56+83n][54+79n][8+13n][55+81n][31+46n][32+47n][13+19n][1+2n][22+33n][37+55n][42+62n][30+44n][9+14n][36+53n][19+29n][53+78n][28+41n][6+9n][10+15n][17+25n][8+12n][13+20n][43+63n][10+16n][58+86n][57+84n][34+51n][58+85n][15+23n][46+68n][37+54n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 61 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 54+89n.

Constatons que 54x61 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89