Calcul de 1/89 en base 56+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 56+89n se regroupent elles en cette série ?

1-56-21-19-85-43-5-13-16-6-69-37-25-65-80-30-78-7-36-58-44-61-34-35-2-23-42-38-81-86-10-26-32-12-49-74-50-41-71-60-67-14-72-27===88-33-68-70-4-46-84-76-73-83-20-52-64-24-9-59-11-82-53-31-45-28-55-54-87-66-47-51-8-3-79-63-57-77-40-15-39-48-18-29-22-75-17-62

Calculons 1/89 en base 56+89n (56, 145, 234, ...) :

1/89 en base 56 = 0,0-35-13-11-53-27-3-8-10-3-43-23-15-40-50-18-49-4-22-36-27-38-21-22-1-14-26-23-50-54-6-16-20-7-30-46-31-25-44-37-42-8-45-16===55-20-42-44-2-28-52-47-45-52-12-32-40-15-5-37-6-51-33-19-28-17-34-33-54-41-29-32-5-1-49-39-35-48-25-9-24-30-11-18-13-47-10-39...

1/89 en base 145 = 0,1-91-34-30-138-70-8-21-26-9-112-60-40-105-130-48-127-11-58-94-71-99-55-57-3-37-68-61-131-140-16-42-52-19-79-120-81-66-115-97-109-22-117-43===143-53-110-114-6-74-136-123-118-135-32-84-104-39-14-96-17-133-86-50-73-45-89-87-141-107-76-83-13-4-128-102-92-125-65-24-63-78-29-47-35-122-27-101...

1/89 en base 234 = 0,2-147-55-49-223-113-13-34-42-15-181-97-65-170-210-78-205-18-94-152-115-160-89-92-5-60-110-99-212-226-26-68-84-31-128-194-131-107-186-157-176-36-189-70===231-86-178-184-10-120-220-199-191-218-52-136-168-63-23-155-28-215-139-81-118-73-144-141-228-173-123-134-21-7-207-165-149-202-105-39-102-126-47-76-57-197-44-163...

Et de manière générale en base 56+89n :

[n][35+56n][13+21n][11+19n][53+85n][27+43n][3+5n][8+13n][10+16n][3+6n][43+69n][23+37n][15+25n][40+65n][50+80n][18+30n][49+78n][4+7n][22+36n][36+58n][27+44n][38+61n][21+34n][22+35n][1+2n][14+23n][26+42n][23+38n][50+81n][54+86n][6+10n][16+26n][20+32n][7+12n][30+49n][46+74n][31+50n][25+41n][44+71n][37+60n][42+67n][8+14n][45+72n][16+27n]===[55+88n][20+33n][42+68n][44+70n][2+4n][28+46n][52+84n][47+76n][45+73n][52+83n][12+20n][32+52n][40+64n][15+24n][5+9n][37+59n][6+11n][51+82n][33+53n][19+31n][28+45n][17+28n][34+55n][33+54n][54+87n][41+66n][29+47n][32+51n][5+8n][1+3n][49+79n][39+63n][35+57n][48+77n][25+40n][9+15n][24+39n][30+48n][11+18n][18+29n][13+22n][47+75n][10+17n][39+62n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 56 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 62+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 62+89n. La série est alors :

1-62-17-75-22-29-18-48-39-15-40-77-57-63-79-3-8-51-47-66-87-54-55-28-45-31-53-82-11-59-9-24-64-52-20-83-73-76-84-46-4-70-68-33===88-27-72-14-67-60-71-41-50-74-49-12-32-26-10-86-81-38-42-23-2-35-34-61-44-58-36-7-78-30-80-65-25-37-69-6-16-13-5-43-85-19-21-56

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 56+89n.

Calculons 1/89 en base : 62, 151, 240, ...(62+89n) :

1/89 en base 62 = 0,0-43-11-52-15-20-12-33-27-10-27-53-39-43-55-2-5-35-32-45-60-37-38-19-31-21-36-57-7-41-6-16-44-36-13-57-50-52-58-32-2-48-47-22===61-18-50-9-46-41-49-28-34-51-34-8-22-18-6-59-56-26-29-16-1-24-23-42-30-40-25-4-54-20-55-45-17-25-48-4-11-9-3-29-59-13-14-39...

1/89 en base 151 = 0,1-105-28-127-37-49-30-81-66-25-67-130-96-106-134-5-13-86-79-111-147-91-93-47-76-52-89-139-18-100-15-40-108-88-33-140-123-128-142-78-6-118-115-55===149-45-122-23-113-101-120-69-84-125-83-20-54-44-16-145-137-64-71-39-3-59-57-103-74-98-61-11-132-50-135-110-42-62-117-10-27-22-8-72-144-32-35-95...

1/89 en base 240 = 0,2-167-45-202-59-78-48-129-105-40-107-207-153-169-213-8-21-137-126-177-234-145-148-75-121-83-142-221-29-159-24-64-172-140-53-223-196-204-226-124-10-188-183-88===237-72-194-37-180-161-191-110-134-199-132-32-86-70-26-231-218-102-113-62-5-94-91-164-118-156-97-18-210-80-215-175-67-99-186-16-43-35-13-115-229-51-56-151...

Et de manière générale en base 62+89n :

[n][43+62n][11+17n][52+75n][15+22n][20+29n][12+18n][33+48n][27+39n][10+15n][27+40n][53+77n][39+57n][43+63n][55+79n][2+3n][5+8n][35+51n][32+47n][45+66n][60+87n][37+54n][38+55n][19+28n][31+45n][21+31n][36+53n][57+82n][7+11n][41+59n][6+9n][16+24n][44+64n][36+52n][13+20n][57+83n][50+73n][52+76n][58+84n][32+46n][2+4n][48+70n][47+68n][22+33n]===[61+88n][18+27n][50+72n][9+14n][46+67n][41+60n][49+71n][28+41n][34+50n][51+74n][34+49n][8+12n][22+32n][18+26n][6+10n][59+86n][56+81n][26+38n][29+42n][16+23n][1+2n][24+35n][23+34n][42+61n][30+44n][40+58n][25+36n][4+7n][54+78n][20+30n][55+80n][45+65n][17+25n][25+37n][48+69n][4+6n][11+16n][9+13n][3+5n][29+43n][59+85n][13+19n][14+21n][39+56n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 62 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 56+89n.

Constatons que 56x62 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89