Calcul de 1/89 en base 58+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 58+89n se regroupent elles en cette série ?

1-58-71-24-57-13-42-33-45-29-80-12-73-51-21-61-67-59-40-6-81-70-55-75-78-74-20-3-85-35-72-82-39-37-10-46-87-62-36-41-64-63-5-23===88-31-18-65-32-76-47-56-44-60-9-77-16-38-68-28-22-30-49-83-8-19-34-14-11-15-69-86-4-54-17-7-50-52-79-43-2-27-53-48-25-26-84-66

Calculons 1/89 en base 58+89n (58, 147, 236, ...) :

1/89 en base 58 = 0,0-37-46-15-37-8-27-21-29-18-52-7-47-33-13-39-43-38-26-3-52-45-35-48-50-48-13-1-55-22-46-53-25-24-6-29-56-40-23-26-41-41-3-14===57-20-11-42-20-49-30-36-28-39-5-50-10-24-44-18-14-19-31-54-5-12-22-9-7-9-44-56-2-35-11-4-32-33-51-28-1-17-34-31-16-16-54-43...

1/89 en base 147 = 0,1-95-117-39-94-21-69-54-74-47-132-19-120-84-34-100-110-97-66-9-133-115-90-123-128-122-33-4-140-57-118-135-64-61-16-75-143-102-59-67-105-104-8-37===145-51-29-107-52-125-77-92-72-99-14-127-26-62-112-46-36-49-80-137-13-31-56-23-18-24-113-142-6-89-28-11-82-85-130-71-3-44-87-79-41-42-138-109...

1/89 en base 236 = 0,2-153-188-63-151-34-111-87-119-76-212-31-193-135-55-161-177-156-106-15-214-185-145-198-206-196-53-7-225-92-190-217-103-98-26-121-230-164-95-108-169-167-13-60===233-82-47-172-84-201-124-148-116-159-23-204-42-100-180-74-58-79-129-220-21-50-90-37-29-39-182-228-10-143-45-18-132-137-209-114-5-71-140-127-66-68-222-175...

Et de manière générale en base 58+89n :

[n][37+58n][46+71n][15+24n][37+57n][8+13n][27+42n][21+33n][29+45n][18+29n][52+80n][7+12n][47+73n][33+51n][13+21n][39+61n][43+67n][38+59n][26+40n][3+6n][52+81n][45+70n][35+55n][48+75n][50+78n][48+74n][13+20n][1+3n][55+85n][22+35n][46+72n][53+82n][25+39n][24+37n][6+10n][29+46n][56+87n][40+62n][23+36n][26+41n][41+64n][41+63n][3+5n][14+23n]===[57+88n][20+31n][11+18n][42+65n][20+32n][49+76n][30+47n][36+56n][28+44n][39+60n][5+9n][50+77n][10+16n][24+38n][44+68n][18+28n][14+22n][19+30n][31+49n][54+83n][5+8n][12+19n][22+34n][9+14n][7+11n][9+15n][44+69n][56+86n][2+4n][35+54n][11+17n][4+7n][32+50n][33+52n][51+79n][28+43n][1+2n][17+27n][34+53n][31+48n][16+25n][16+26n][54+84n][43+66n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 58 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 66+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 66+89n. La série est alors :

1-66-84-26-25-48-53-27-2-43-79-52-50-7-17-54-4-86-69-15-11-14-34-19-8-83-49-30-22-28-68-38-16-77-9-60-44-56-47-76-32-65-18-31===88-23-5-63-64-41-36-62-87-46-10-37-39-82-72-35-85-3-20-74-78-75-55-70-81-6-40-59-67-61-21-51-73-12-80-29-45-33-42-13-57-24-71-58

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 58+89n.

Calculons 1/89 en base : 66, 155, 244, ...(66+89n) :

1/89 en base 66 = 0,0-48-62-19-18-35-39-20-1-31-58-38-37-5-12-40-2-63-51-11-8-10-25-14-5-61-36-22-16-20-50-28-11-57-6-44-32-41-34-56-23-48-13-22===65-17-3-46-47-30-26-45-64-34-7-27-28-60-53-25-63-2-14-54-57-55-40-51-60-4-29-43-49-45-15-37-54-8-59-21-33-24-31-9-42-17-52-43...

1/89 en base 155 = 0,1-114-146-45-43-83-92-47-3-74-137-90-87-12-29-94-6-149-120-26-19-24-59-33-13-144-85-52-38-48-118-66-27-134-15-104-76-97-81-132-55-113-31-53===153-40-8-109-111-71-62-107-151-80-17-64-67-142-125-60-148-5-34-128-135-130-95-121-141-10-69-102-116-106-36-88-127-20-139-50-78-57-73-22-99-41-123-101...

1/89 en base 244 = 0,2-180-230-71-68-131-145-74-5-117-216-142-137-19-46-148-10-235-189-41-30-38-93-52-21-227-134-82-60-76-186-104-43-211-24-164-120-153-128-208-87-178-49-84===241-63-13-172-175-112-98-169-238-126-27-101-106-224-197-95-233-8-54-202-213-205-150-191-222-16-109-161-183-167-57-139-200-32-219-79-123-90-115-35-156-65-194-159...

Et de manière générale en base 66+89n :

[n][48+66n][62+84n][19+26n][18+25n][35+48n][39+53n][20+27n][1+2n][31+43n][58+79n][38+52n][37+50n][5+7n][12+17n][40+54n][2+4n][63+86n][51+69n][11+15n][8+11n][10+14n][25+34n][14+19n][5+8n][61+83n][36+49n][22+30n][16+22n][20+28n][50+68n][28+38n][11+16n][57+77n][6+9n][44+60n][32+44n][41+56n][34+47n][56+76n][23+32n][48+65n][13+18n][22+31n]===[65+88n][17+23n][3+5n][46+63n][47+64n][30+41n][26+36n][45+62n][64+87n][34+46n][7+10n][27+37n][28+39n][60+82n][53+72n][25+35n][63+85n][2+3n][14+20n][54+74n][57+78n][55+75n][40+55n][51+70n][60+81n][4+6n][29+40n][43+59n][49+67n][45+61n][15+21n][37+51n][54+73n][8+12n][59+80n][21+29n][33+45n][24+33n][31+42n][9+13n][42+57n][17+24n][52+71n][43+58n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 66 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 58+89n.

Constatons que 58x66 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89