Calcul de 1/89 en base 59+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 59+89n se regroupent elles en cette série ?

1-59-10-56-11-26-21-82-32-19-53-12-85-31-49-43-45-74-5-28-50-13-55-41-16-54-71-6-87-60-69-66-67-37-47-14-25-51-72-65-8-27-80-3===88-30-79-33-78-63-68-7-57-70-36-77-4-58-40-46-44-15-84-61-39-76-34-48-73-35-18-83-2-29-20-23-22-52-42-75-64-38-17-24-81-62-9-86

Calculons 1/89 en base 59+89n (59, 148, 237, ...) :

1/89 en base 59 = 0,0-39-6-37-7-17-13-54-21-12-35-7-56-20-32-28-29-49-3-18-33-8-36-27-10-35-47-3-57-39-45-43-44-24-31-9-16-33-47-43-5-17-53-1===58-19-52-21-51-41-45-4-37-46-23-51-2-38-26-30-29-9-55-40-25-50-22-31-48-23-11-55-1-19-13-15-14-34-27-49-42-25-11-15-53-41-5-57...

1/89 en base 148 = 0,1-98-16-93-18-43-34-136-53-31-88-19-141-51-81-71-74-123-8-46-83-21-91-68-26-89-118-9-144-99-114-109-111-61-78-23-41-84-119-108-13-44-133-4===146-49-131-54-129-104-113-11-94-116-59-128-6-96-66-76-73-24-139-101-64-126-56-79-121-58-29-138-3-48-33-38-36-86-69-124-106-63-28-39-134-103-14-143...

1/89 en base 237 = 0,2-157-26-149-29-69-55-218-85-50-141-31-226-82-130-114-119-197-13-74-133-34-146-109-42-143-189-15-231-159-183-175-178-98-125-37-66-135-191-173-21-71-213-7===234-79-210-87-207-167-181-18-151-186-95-205-10-154-106-122-117-39-223-162-103-202-90-127-194-93-47-221-5-77-53-61-58-138-111-199-170-101-45-63-215-165-23-229...

Et de manière générale en base 59+89n :

[n][39+59n][6+10n][37+56n][7+11n][17+26n][13+21n][54+82n][21+32n][12+19n][35+53n][7+12n][56+85n][20+31n][32+49n][28+43n][29+45n][49+74n][3+5n][18+28n][33+50n][8+13n][36+55n][27+41n][10+16n][35+54n][47+71n][3+6n][57+87n][39+60n][45+69n][43+66n][44+67n][24+37n][31+47n][9+14n][16+25n][33+51n][47+72n][43+65n][5+8n][17+27n][53+80n][1+3n]===[58+88n][19+30n][52+79n][21+33n][51+78n][41+63n][45+68n][4+7n][37+57n][46+70n][23+36n][51+77n][2+4n][38+58n][26+40n][30+46n][29+44n][9+15n][55+84n][40+61n][25+39n][50+76n][22+34n][31+48n][48+73n][23+35n][11+18n][55+83n][1+2n][19+29n][13+20n][15+23n][14+22n][34+52n][27+42n][49+75n][42+64n][25+38n][11+17n][15+24n][53+81n][41+62n][5+9n][57+86n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 59 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 86+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 86+89n. La série est alors :

1-86-9-62-81-24-17-38-64-75-42-52-22-23-20-29-2-83-18-35-73-48-34-76-39-61-84-15-44-46-40-58-4-77-36-70-57-7-68-63-78-33-79-30===88-3-80-27-8-65-72-51-25-14-47-37-67-66-69-60-87-6-71-54-16-41-55-13-50-28-5-74-45-43-49-31-85-12-53-19-32-82-21-26-11-56-10-59

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 59+89n.

Calculons 1/89 en base : 86, 175, 264, ...(86+89n) :

1/89 en base 86 = 0,0-83-8-59-78-23-16-36-61-72-40-50-21-22-19-28-1-80-17-33-70-46-32-73-37-58-81-14-42-44-38-56-3-74-34-67-55-6-65-60-75-31-76-28===85-2-77-26-7-62-69-49-24-13-45-35-64-63-66-57-84-5-68-52-15-39-53-12-48-27-4-71-43-41-47-29-82-11-51-18-30-79-20-25-10-54-9-57...

1/89 en base 175 = 0,1-169-17-121-159-47-33-74-125-147-82-102-43-45-39-57-3-163-35-68-143-94-66-149-76-119-165-29-86-90-78-114-7-151-70-137-112-13-133-123-153-64-155-58===173-5-157-53-15-127-141-100-49-27-92-72-131-129-135-117-171-11-139-106-31-80-108-25-98-55-9-145-88-84-96-60-167-23-104-37-62-161-41-51-21-110-19-116...

1/89 en base 264 = 0,2-255-26-183-240-71-50-112-189-222-124-154-65-68-59-86-5-246-53-103-216-142-100-225-115-180-249-44-130-136-118-172-11-228-106-207-169-20-201-186-231-97-234-88===261-8-237-80-23-192-213-151-74-41-139-109-198-195-204-177-258-17-210-160-47-121-163-38-148-83-14-219-133-127-145-91-252-35-157-56-94-243-62-77-32-166-29-175...

Et de manière générale en base 86+89n :

[n][83+86n][8+9n][59+62n][78+81n][23+24n][16+17n][36+38n][61+64n][72+75n][40+42n][50+52n][21+22n][22+23n][19+20n][28+29n][1+2n][80+83n][17+18n][33+35n][70+73n][46+48n][32+34n][73+76n][37+39n][58+61n][81+84n][14+15n][42+44n][44+46n][38+40n][56+58n][3+4n][74+77n][34+36n][67+70n][55+57n][6+7n][65+68n][60+63n][75+78n][31+33n][76+79n][28+30n]===[85+88n][2+3n][77+80n][26+27n][7+8n][62+65n][69+72n][49+51n][24+25n][13+14n][45+47n][35+37n][64+67n][63+66n][66+69n][57+60n][84+87n][5+6n][68+71n][52+54n][15+16n][39+41n][53+55n][12+13n][48+50n][27+28n][4+5n][71+74n][43+45n][41+43n][47+49n][29+31n][82+85n][11+12n][51+53n][18+19n][30+32n][79+82n][20+21n][25+26n][10+11n][54+56n][9+10n][57+59n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 86 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 59+89n.

Constatons que 59x86 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89