Calcul de 1/89 en base 63+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 63+89n se regroupent elles en cette série ?

1-63-53-46-50-35-69-75-8-59-68-12-44-13-18-66-64-27-10-7-85-15-55-83-67-38-80-56-57-31-84-41-2-37-17-3-11-70-49-61-16-29-47-24===88-26-36-43-39-54-20-14-81-30-21-77-45-76-71-23-25-62-79-82-4-74-34-6-22-51-9-33-32-58-5-48-87-52-72-86-78-19-40-28-73-60-42-65

Calculons 1/89 en base 63+89n (63, 152, 241, ...) :

1/89 en base 63 = 0,0-44-37-32-35-24-48-53-5-41-48-8-31-9-12-46-45-19-7-4-60-10-38-58-47-26-56-39-40-21-59-29-1-26-12-2-7-49-34-43-11-20-33-16===62-18-25-30-27-38-14-9-57-21-14-54-31-53-50-16-17-43-55-58-2-52-24-4-15-36-6-23-22-41-3-33-61-36-50-60-55-13-28-19-51-42-29-46...

1/89 en base 152 = 0,1-107-90-78-85-59-117-128-13-100-116-20-75-22-30-112-109-46-17-11-145-25-93-141-114-64-136-95-97-52-143-70-3-63-29-5-18-119-83-104-27-49-80-40===150-44-61-73-66-92-34-23-138-51-35-131-76-129-121-39-42-105-134-140-6-126-58-10-37-87-15-56-54-99-8-81-148-88-122-146-133-32-68-47-124-102-71-111...

1/89 en base 241 = 0,2-170-143-124-135-94-186-203-21-159-184-32-119-35-48-178-173-73-27-18-230-40-148-224-181-102-216-151-154-83-227-111-5-100-46-8-29-189-132-165-43-78-127-64===238-70-97-116-105-146-54-37-219-81-56-208-121-205-192-62-67-167-213-222-10-200-92-16-59-138-24-89-86-157-13-129-235-140-194-232-211-51-108-75-197-162-113-176...

Et de manière générale en base 63+89n :

[n][44+63n][37+53n][32+46n][35+50n][24+35n][48+69n][53+75n][5+8n][41+59n][48+68n][8+12n][31+44n][9+13n][12+18n][46+66n][45+64n][19+27n][7+10n][4+7n][60+85n][10+15n][38+55n][58+83n][47+67n][26+38n][56+80n][39+56n][40+57n][21+31n][59+84n][29+41n][1+2n][26+37n][12+17n][2+3n][7+11n][49+70n][34+49n][43+61n][11+16n][20+29n][33+47n][16+24n]===[62+88n][18+26n][25+36n][30+43n][27+39n][38+54n][14+20n][9+14n][57+81n][21+30n][14+21n][54+77n][31+45n][53+76n][50+71n][16+23n][17+25n][43+62n][55+79n][58+82n][2+4n][52+74n][24+34n][4+6n][15+22n][36+51n][6+9n][23+33n][22+32n][41+58n][3+5n][33+48n][61+87n][36+52n][50+72n][60+86n][55+78n][13+19n][28+40n][19+28n][51+73n][42+60n][29+42n][46+65n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 63 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 65+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 65+89n. La série est alors :

1-65-42-60-73-28-40-19-78-86-72-52-87-48-5-58-32-33-9-51-22-6-34-74-4-82-79-62-25-23-71-76-45-77-21-30-81-14-20-54-39-43-36-26===88-24-47-29-16-61-49-70-11-3-17-37-2-41-84-31-57-56-80-38-67-83-55-15-85-7-10-27-64-66-18-13-44-12-68-59-8-75-69-35-50-46-53-63

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 63+89n.

Calculons 1/89 en base : 65, 154, 243, ...(65+89n) :

1/89 en base 65 = 0,0-47-30-43-53-20-29-13-56-62-52-37-63-35-3-42-23-24-6-37-16-4-24-54-2-59-57-45-18-16-51-55-32-56-15-21-59-10-14-39-28-31-26-18===64-17-34-21-11-44-35-51-8-2-12-27-1-29-61-22-41-40-58-27-48-60-40-10-62-5-7-19-46-48-13-9-32-8-49-43-5-54-50-25-36-33-38-46...

1/89 en base 154 = 0,1-112-72-103-126-48-69-32-134-148-124-89-150-83-8-100-55-57-15-88-38-10-58-128-6-141-136-107-43-39-122-131-77-133-36-51-140-24-34-93-67-74-62-44===152-41-81-50-27-105-84-121-19-5-29-64-3-70-145-53-98-96-138-65-115-143-95-25-147-12-17-46-110-114-31-22-76-20-117-102-13-129-119-60-86-79-91-109...

1/89 en base 243 = 0,2-177-114-163-199-76-109-51-212-234-196-141-237-131-13-158-87-90-24-139-60-16-92-202-10-223-215-169-68-62-193-207-122-210-57-81-221-38-54-147-106-117-98-70===240-65-128-79-43-166-133-191-30-8-46-101-5-111-229-84-155-152-218-103-182-226-150-40-232-19-27-73-174-180-49-35-120-32-185-161-21-204-188-95-136-125-144-172...

Et de manière générale en base 65+89n :

[n][47+65n][30+42n][43+60n][53+73n][20+28n][29+40n][13+19n][56+78n][62+86n][52+72n][37+52n][63+87n][35+48n][3+5n][42+58n][23+32n][24+33n][6+9n][37+51n][16+22n][4+6n][24+34n][54+74n][2+4n][59+82n][57+79n][45+62n][18+25n][16+23n][51+71n][55+76n][32+45n][56+77n][15+21n][21+30n][59+81n][10+14n][14+20n][39+54n][28+39n][31+43n][26+36n][18+26n]===[64+88n][17+24n][34+47n][21+29n][11+16n][44+61n][35+49n][51+70n][8+11n][2+3n][12+17n][27+37n][1+2n][29+41n][61+84n][22+31n][41+57n][40+56n][58+80n][27+38n][48+67n][60+83n][40+55n][10+15n][62+85n][5+7n][7+10n][19+27n][46+64n][48+66n][13+18n][9+13n][32+44n][8+12n][49+68n][43+59n][5+8n][54+75n][50+69n][25+35n][36+50n][33+46n][38+53n][46+63n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 65 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 63+89n.

Constatons que 63x65 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89