Calcul de 1/89 en base 74+89n.

Pourquoi les périodes de n/89 en base 74+89n se regroupent elles en cette série ?

1-74-47-7-73-62-49-66-78-76-17-12-87-30-84-75-32-54-80-46-22-26-55-65-4-29-10-28-25-70-18-86-45-37-68-48-81-31-69-33-39-38-53-6===88-15-42-82-16-27-40-23-11-13-72-77-2-59-5-14-57-35-9-43-67-63-34-24-85-60-79-61-64-19-71-3-44-52-21-41-8-58-20-56-50-51-36-83

Calculons 1/89 en base 74+89n (74, 163, 252, ...) :

1/89 en base 74 = 0,0-61-39-5-60-51-40-54-64-63-14-9-72-24-69-62-26-44-66-38-18-21-45-54-3-24-8-23-20-58-14-71-37-30-56-39-67-25-57-27-32-31-44-4===73-12-34-68-13-22-33-19-9-10-59-64-1-49-4-11-47-29-7-35-55-52-28-19-70-49-65-50-53-15-59-2-36-43-17-34-6-48-16-46-41-42-29-69...

1/89 en base 163 = 0,1-135-86-12-133-113-89-120-142-139-31-21-159-54-153-137-58-98-146-84-40-47-100-119-7-53-18-51-45-128-32-157-82-67-124-87-148-56-126-60-71-69-97-10===161-27-76-150-29-49-73-42-20-23-131-141-3-108-9-25-104-64-16-78-122-115-62-43-155-109-144-111-117-34-130-5-80-95-38-75-14-106-36-102-91-93-65-152...

1/89 en base 252 = 0,2-209-133-19-206-175-138-186-220-215-48-33-246-84-237-212-90-152-226-130-62-73-155-184-11-82-28-79-70-198-50-243-127-104-192-135-229-87-195-93-110-107-150-16===249-42-118-232-45-76-113-65-31-36-203-218-5-167-14-39-161-99-25-121-189-178-96-67-240-169-223-172-181-53-201-8-124-147-59-116-22-164-56-158-141-144-101-235...

Et de manière générale en base 74+89n :

[n][61+74n][39+47n][5+7n][60+73n][51+62n][40+49n][54+66n][64+78n][63+76n][14+17n][9+12n][72+87n][24+30n][69+84n][62+75n][26+32n][44+54n][66+80n][38+46n][18+22n][21+26n][45+55n][54+65n][3+4n][24+29n][8+10n][23+28n][20+25n][58+70n][14+18n][71+86n][37+45n][30+37n][56+68n][39+48n][67+81n][25+31n][57+69n][27+33n][32+39n][31+38n][44+53n][4+6n]===[73+88n][12+15n][34+42n][68+82n][13+16n][22+27n][33+40n][19+23n][9+11n][10+13n][59+72n][64+77n][1+2n][49+59n][4+5n][11+14n][47+57n][29+35n][7+9n][35+43n][55+67n][52+63n][28+34n][19+24n][70+85n][49+60n][65+79n][50+61n][53+64n][15+19n][59+71n][2+3n][36+44n][43+52n][17+21n][34+41n][6+8n][48+58n][16+20n][46+56n][41+50n][42+51n][29+36n][69+83n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 74 modulo 89

Calcul de 1/89 en base 83+89n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 83+89n. La série est alors :

1-83-36-51-50-56-20-58-8-41-21-52-44-3-71-19-64-61-79-60-85-24-34-63-67-43-9-35-57-14-5-59-2-77-72-13-11-23-40-27-16-82-42-15===88-6-53-38-39-33-69-31-81-48-68-37-45-86-18-70-25-28-10-29-4-65-55-26-22-46-80-54-32-75-84-30-87-12-17-76-78-66-49-62-73-7-47-74

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 74+89n.

Calculons 1/89 en base : 83, 172, 261, ...(83+89n) :

1/89 en base 83 = 0,0-77-33-47-46-52-18-54-7-38-19-48-41-2-66-17-59-56-73-55-79-22-31-58-62-40-8-32-53-13-4-55-1-71-67-12-10-21-37-25-14-76-39-13===82-5-49-35-36-30-64-28-75-44-63-34-41-80-16-65-23-26-9-27-3-60-51-24-20-42-74-50-29-69-78-27-81-11-15-70-72-61-45-57-68-6-43-69...

1/89 en base 172 = 0,1-160-69-98-96-108-38-112-15-79-40-100-85-5-137-36-123-117-152-115-164-46-65-121-129-83-17-67-110-27-9-114-3-148-139-25-21-44-77-52-30-158-81-28===170-11-102-73-75-63-133-59-156-92-131-71-86-166-34-135-48-54-19-56-7-125-106-50-42-88-154-104-61-144-162-57-168-23-32-146-150-127-94-119-141-13-90-143...

1/89 en base 261 = 0,2-243-105-149-146-164-58-170-23-120-61-152-129-8-208-55-187-178-231-175-249-70-99-184-196-126-26-102-167-41-14-173-5-225-211-38-32-67-117-79-46-240-123-43===258-17-155-111-114-96-202-90-237-140-199-108-131-252-52-205-73-82-29-85-11-190-161-76-64-134-234-158-93-219-246-87-255-35-49-222-228-193-143-181-214-20-137-217...

Et de manière générale en base 83+89n :

[n][77+83n][33+36n][47+51n][46+50n][52+56n][18+20n][54+58n][7+8n][38+41n][19+21n][48+52n][41+44n][2+3n][66+71n][17+19n][59+64n][56+61n][73+79n][55+60n][79+85n][22+24n][31+34n][58+63n][62+67n][40+43n][8+9n][32+35n][53+57n][13+14n][4+5n][55+59n][1+2n][71+77n][67+72n][12+13n][10+11n][21+23n][37+40n][25+27n][14+16n][76+82n][39+42n][13+15n]===[82+88n][5+6n][49+53n][35+38n][36+39n][30+33n][64+69n][28+31n][75+81n][44+48n][63+68n][34+37n][41+45n][80+86n][16+18n][65+70n][23+25n][26+28n][9+10n][27+29n][3+4n][60+65n][51+55n][24+26n][20+22n][42+46n][74+80n][50+54n][29+32n][69+75n][78+84n][27+30n][81+87n][11+12n][15+17n][70+76n][72+78n][61+66n][45+49n][57+62n][68+73n][6+7n][43+47n][69+74n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 89 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 83 modulo 89

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 74+89n.

Constatons que 74x83 admet 1 pour reste dans la division par 89 et qu'ils sont alors inverses dans Z89