Calcul de 1/97 en base 5+97n.

Pourquoi les périodes de n/97 en base 5+97n se regroupent elles en cette série ?

1-5-25-28-43-21-8-40-6-30-53-71-64-29-48-46-36-83-27-38-93-77-94-82-22-13-65-34-73-74-79-7-35-78-2-10-50-56-86-42-16-80-12-60-9-45-31-58===96-92-72-69-54-76-89-57-91-67-44-26-33-68-49-51-61-14-70-59-4-20-3-15-75-84-32-63-24-23-18-90-62-19-95-87-47-41-11-55-81-17-85-37-88-52-66-39

Calculons 1/97 en base 5+97n (5, 102, 199, ...) :

1/97 en base 5 = 0,001121020123312214114344103133401400224204030212===443323424321132230330100341311043044220240414232...

1/97 en base 102 = 0,1-5-26-29-45-22-8-42-6-31-55-74-67-30-50-48-37-87-28-39-97-80-98-86-23-13-68-35-76-77-83-7-36-82-2-10-52-58-90-44-16-84-12-63-9-47-32-60===100-96-75-72-56-79-93-59-95-70-46-27-34-71-51-53-64-14-73-62-4-21-3-15-78-88-33-66-25-24-18-94-65-19-99-91-49-43-11-57-85-17-89-38-92-54-69-41...

1/97 en base 199 = 0,2-10-51-57-88-43-16-82-12-61-108-145-131-59-98-94-73-170-55-77-190-157-192-168-45-26-133-69-149-151-162-14-71-160-4-20-102-114-176-86-32-164-24-123-18-92-63-118===196-188-147-141-110-155-182-116-186-137-90-53-67-139-100-104-125-28-143-121-8-41-6-30-153-172-65-129-49-47-36-184-127-38-194-178-96-84-22-112-166-34-174-75-180-106-135-80...

Et de manière générale en base 5+97n :

[n][5n][1+25n][1+28n][2+43n][1+21n][8n][2+40n][6n][1+30n][2+53n][3+71n][3+64n][1+29n][2+48n][2+46n][1+36n][4+83n][1+27n][1+38n][4+93n][3+77n][4+94n][4+82n][1+22n][13n][3+65n][1+34n][3+73n][3+74n][4+79n][7n][1+35n][4+78n][2n][10n][2+50n][2+56n][4+86n][2+42n][16n][4+80n][12n][3+60n][9n][2+45n][1+31n][2+58n]===[4+96n][4+92n][3+72n][3+69n][2+54n][3+76n][4+89n][2+57n][4+91n][3+67n][2+44n][1+26n][1+33n][3+68n][2+49n][2+51n][3+61n][14n][3+70n][3+59n][4n][1+20n][3n][15n][3+75n][4+84n][1+32n][3+63n][1+24n][1+23n][18n][4+90n][3+62n][19n][4+95n][4+87n][2+47n][2+41n][11n][2+55n][4+81n][17n][4+85n][1+37n][4+88n][2+52n][3+66n][2+39n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 5 modulo 97

Calcul de 1/97 en base 39+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 39+97n. La série est alors :

1-39-66-52-88-37-85-17-81-55-11-41-47-87-95-19-62-90-18-23-24-63-32-84-75-15-3-20-4-59-70-14-61-51-49-68-33-26-44-67-91-57-89-76-54-69-72-92===96-58-31-45-9-60-12-80-16-42-86-56-50-10-2-78-35-7-79-74-73-34-65-13-22-82-94-77-93-38-27-83-36-46-48-29-64-71-53-30-6-40-8-21-43-28-25-5

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 5+97n.

Calculons 1/97 en base : 39, 136, 233, ...(39+97n) :

1/97 en base 39 = 0,0-15-26-20-35-14-34-6-32-22-4-16-18-34-38-7-24-36-7-9-9-25-12-33-30-6-1-8-1-23-28-5-24-20-19-27-13-10-17-26-36-22-35-30-21-27-28-36===38-23-12-18-3-24-4-32-6-16-34-22-20-4-0-31-14-2-31-29-29-13-26-5-8-32-37-30-37-15-10-33-14-18-19-11-25-28-21-12-2-16-3-8-17-11-10-2...

1/97 en base 136 = 0,1-54-92-72-123-51-119-23-113-77-15-57-65-121-133-26-86-126-25-32-33-88-44-117-105-21-4-28-5-82-98-19-85-71-68-95-46-36-61-93-127-79-124-106-75-96-100-128===134-81-43-63-12-84-16-112-22-58-120-78-70-14-2-109-49-9-110-103-102-47-91-18-30-114-131-107-130-53-37-116-50-64-67-40-89-99-74-42-8-56-11-29-60-39-35-7...

1/97 en base 233 = 0,2-93-158-124-211-88-204-40-194-132-26-98-112-208-228-45-148-216-43-55-57-151-76-201-180-36-7-48-9-141-168-33-146-122-117-163-79-62-105-160-218-136-213-182-129-165-172-220===230-139-74-108-21-144-28-192-38-100-206-134-120-24-4-187-84-16-189-177-175-81-156-31-52-196-225-184-223-91-64-199-86-110-115-69-153-170-127-72-14-96-19-50-103-67-60-12...

Et de manière générale en base 39+97n :

[n][15+39n][26+66n][20+52n][35+88n][14+37n][34+85n][6+17n][32+81n][22+55n][4+11n][16+41n][18+47n][34+87n][38+95n][7+19n][24+62n][36+90n][7+18n][9+23n][9+24n][25+63n][12+32n][33+84n][30+75n][6+15n][1+3n][8+20n][1+4n][23+59n][28+70n][5+14n][24+61n][20+51n][19+49n][27+68n][13+33n][10+26n][17+44n][26+67n][36+91n][22+57n][35+89n][30+76n][21+54n][27+69n][28+72n][36+92n]===[38+96n][23+58n][12+31n][18+45n][3+9n][24+60n][4+12n][32+80n][6+16n][16+42n][34+86n][22+56n][20+50n][4+10n][2n][31+78n][14+35n][2+7n][31+79n][29+74n][29+73n][13+34n][26+65n][5+13n][8+22n][32+82n][37+94n][30+77n][37+93n][15+38n][10+27n][33+83n][14+36n][18+46n][19+48n][11+29n][25+64n][28+71n][21+53n][12+30n][2+6n][16+40n][3+8n][8+21n][17+43n][11+28n][10+25n][2+5n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 39 modulo 97

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 5+97n.

Constatons que 5x39 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97