Calcul de 1/97 en base 7+97n.

Pourquoi les périodes de n/97 en base 7+97n se regroupent elles en cette série ?

1-7-49-52-73-26-85-13-91-55-94-76-47-38-72-19-36-58-18-29-9-63-53-80-75-40-86-20-43-10-70-5-35-51-66-74-33-37-65-67-81-82-89-41-93-69-95-83===96-90-48-45-24-71-12-84-6-42-3-21-50-59-25-78-61-39-79-68-88-34-44-17-22-57-11-77-54-87-27-92-62-46-31-23-64-60-32-30-16-15-8-56-4-28-2-14

Calculons 1/97 en base 7+97n (7, 104, 201, ...) :

1/97 en base 7 = 0,003351606365325124120435526130502345224455626465===663315060301341542546231140536164321442211040201...

1/97 en base 104 = 0,1-7-52-55-78-27-91-13-97-58-100-81-50-40-77-20-38-62-19-31-9-67-56-85-80-42-92-21-46-10-75-5-37-54-70-79-35-39-69-71-86-87-95-43-99-73-101-88===102-96-51-48-25-76-12-90-6-45-3-22-53-63-26-83-65-41-84-72-94-36-47-18-23-61-11-82-57-93-28-98-66-49-33-24-68-64-34-32-17-16-8-60-4-30-2-15...

1/97 en base 201 = 0,2-14-101-107-151-53-176-26-188-113-194-157-97-78-149-39-74-120-37-60-18-130-109-165-155-82-178-41-89-20-145-10-72-105-136-153-68-76-134-138-167-169-184-84-192-142-196-171===198-186-99-93-49-147-24-174-12-87-6-43-103-122-51-161-126-80-163-140-182-70-91-35-45-118-22-159-111-180-55-190-128-95-64-47-132-124-66-62-33-31-16-116-8-58-4-29...

Et de manière générale en base 7+97n :

[n][7n][3+49n][3+52n][5+73n][1+26n][6+85n][13n][6+91n][3+55n][6+94n][5+76n][3+47n][2+38n][5+72n][1+19n][2+36n][4+58n][1+18n][2+29n][9n][4+63n][3+53n][5+80n][5+75n][2+40n][6+86n][1+20n][3+43n][10n][5+70n][5n][2+35n][3+51n][4+66n][5+74n][2+33n][2+37n][4+65n][4+67n][5+81n][5+82n][6+89n][2+41n][6+93n][4+69n][6+95n][5+83n]===[6+96n][6+90n][3+48n][3+45n][1+24n][5+71n][12n][6+84n][6n][3+42n][3n][1+21n][3+50n][4+59n][1+25n][5+78n][4+61n][2+39n][5+79n][4+68n][6+88n][2+34n][3+44n][1+17n][1+22n][4+57n][11n][5+77n][3+54n][6+87n][1+27n][6+92n][4+62n][3+46n][2+31n][1+23n][4+64n][4+60n][2+32n][2+30n][1+16n][1+15n][8n][4+56n][4n][2+28n][2n][1+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 97

Calcul de 1/97 en base 14+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 14+97n. La série est alors :

1-14-2-28-4-56-8-15-16-30-32-60-64-23-31-46-62-92-27-87-54-77-11-57-22-17-44-34-88-68-79-39-61-78-25-59-50-21-3-42-6-84-12-71-24-45-48-90===96-83-95-69-93-41-89-82-81-67-65-37-33-74-66-51-35-5-70-10-43-20-86-40-75-80-53-63-9-29-18-58-36-19-72-38-47-76-94-55-91-13-85-26-73-52-49-7

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 7+97n.

Calculons 1/97 en base : 14, 111, 208, ...(14+97n) :

1/97 en base 14 = 0,0-2-0-4-0-8-1-2-2-4-4-8-9-3-4-6-8-13-3-12-7-11-1-8-3-2-6-4-12-9-11-5-8-11-3-8-7-3-0-6-0-12-1-10-3-6-6-12===13-11-13-9-13-5-12-11-11-9-9-5-4-10-9-7-5-0-10-1-6-2-12-5-10-11-7-9-1-4-2-8-5-2-10-5-6-10-13-7-13-1-12-3-10-7-7-1...

1/97 en base 111 = 0,1-16-2-32-4-64-9-17-18-34-36-68-73-26-35-52-70-105-30-99-61-88-12-65-25-19-50-38-100-77-90-44-69-89-28-67-57-24-3-48-6-96-13-81-27-51-54-102===109-94-108-78-106-46-101-93-92-76-74-42-37-84-75-58-40-5-80-11-49-22-98-45-85-91-60-72-10-33-20-66-41-21-82-43-53-86-107-62-104-14-97-29-83-59-56-8...

1/97 en base 208 = 0,2-30-4-60-8-120-17-32-34-64-68-128-137-49-66-98-132-197-57-186-115-165-23-122-47-36-94-72-188-145-169-83-130-167-53-126-107-45-6-90-12-180-25-152-51-96-102-192===205-177-203-147-199-87-190-175-173-143-139-79-70-158-141-109-75-10-150-21-92-42-184-85-160-171-113-135-19-62-38-124-77-40-154-81-100-162-201-117-195-27-182-55-156-111-105-15...

Et de manière générale en base 14+97n :

[n][2+14n][2n][4+28n][4n][8+56n][1+8n][2+15n][2+16n][4+30n][4+32n][8+60n][9+64n][3+23n][4+31n][6+46n][8+62n][13+92n][3+27n][12+87n][7+54n][11+77n][1+11n][8+57n][3+22n][2+17n][6+44n][4+34n][12+88n][9+68n][11+79n][5+39n][8+61n][11+78n][3+25n][8+59n][7+50n][3+21n][3n][6+42n][6n][12+84n][1+12n][10+71n][3+24n][6+45n][6+48n][12+90n]===[13+96n][11+83n][13+95n][9+69n][13+93n][5+41n][12+89n][11+82n][11+81n][9+67n][9+65n][5+37n][4+33n][10+74n][9+66n][7+51n][5+35n][5n][10+70n][1+10n][6+43n][2+20n][12+86n][5+40n][10+75n][11+80n][7+53n][9+63n][1+9n][4+29n][2+18n][8+58n][5+36n][2+19n][10+72n][5+38n][6+47n][10+76n][13+94n][7+55n][13+91n][1+13n][12+85n][3+26n][10+73n][7+52n][7+49n][1+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 97

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 7+97n.

Constatons que 7x14 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97