Calcul de 1/97 en base 10+97n.

Pourquoi les périodes de n/97 en base 10+97n se regroupent elles en cette série ?

1-10-3-30-9-90-27-76-81-34-49-5-50-15-53-45-62-38-89-17-73-51-25-56-75-71-31-19-93-57-85-74-61-28-86-84-64-58-95-77-91-37-79-14-43-42-32-29===96-87-94-67-88-7-70-21-16-63-48-92-47-82-44-52-35-59-8-80-24-46-72-41-22-26-66-78-4-40-12-23-36-69-11-13-33-39-2-20-6-60-18-83-54-55-65-68

Calculons 1/97 en base 10+97n (10, 107, 204, ...) :

1/97 en base 10 = 0,010309278350515463917525773195876288659793814432===989690721649484536082474226804123711340206185567...

1/97 en base 107 = 0,1-11-3-33-9-99-29-83-89-37-54-5-55-16-58-49-68-41-98-18-80-56-27-61-82-78-34-20-102-62-93-81-67-30-94-92-70-63-104-84-100-40-87-15-47-46-35-31===105-95-103-73-97-7-77-23-17-69-52-101-51-90-48-57-38-65-8-88-26-50-79-45-24-28-72-86-4-44-13-25-39-76-12-14-36-43-2-22-6-66-19-91-59-60-71-75...

1/97 en base 204 = 0,2-21-6-63-18-189-56-159-170-71-103-10-105-31-111-94-130-79-187-35-153-107-52-117-157-149-65-39-195-119-178-155-128-58-180-176-134-121-199-161-191-77-166-29-90-88-67-60===201-182-197-140-185-14-147-44-33-132-100-193-98-172-92-109-73-124-16-168-50-96-151-86-46-54-138-164-8-84-25-48-75-145-23-27-69-82-4-42-12-126-37-174-113-115-136-143...

Et de manière générale en base 10+97n :

[n][1+10n][3n][3+30n][9n][9+90n][2+27n][7+76n][8+81n][3+34n][5+49n][5n][5+50n][1+15n][5+53n][4+45n][6+62n][3+38n][9+89n][1+17n][7+73n][5+51n][2+25n][5+56n][7+75n][7+71n][3+31n][1+19n][9+93n][5+57n][8+85n][7+74n][6+61n][2+28n][8+86n][8+84n][6+64n][5+58n][9+95n][7+77n][9+91n][3+37n][8+79n][1+14n][4+43n][4+42n][3+32n][2+29n]===[9+96n][8+87n][9+94n][6+67n][9+88n][7n][7+70n][2+21n][1+16n][6+63n][4+48n][9+92n][4+47n][8+82n][4+44n][5+52n][3+35n][6+59n][8n][8+80n][2+24n][4+46n][7+72n][4+41n][2+22n][2+26n][6+66n][8+78n][4n][4+40n][1+12n][2+23n][3+36n][7+69n][1+11n][1+13n][3+33n][4+39n][2n][2+20n][6n][6+60n][1+18n][8+83n][5+54n][5+55n][6+65n][7+68n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 10 modulo 97

Calcul de 1/97 en base 68+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 68+97n. La série est alors :

1-68-65-55-54-83-18-60-6-20-2-39-33-13-11-69-36-23-12-40-4-78-66-26-22-41-72-46-24-80-8-59-35-52-44-82-47-92-48-63-16-21-70-7-88-67-94-87===96-29-32-42-43-14-79-37-91-77-95-58-64-84-86-28-61-74-85-57-93-19-31-71-75-56-25-51-73-17-89-38-62-45-53-15-50-5-49-34-81-76-27-90-9-30-3-10

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 10+97n.

Calculons 1/97 en base : 68, 165, 262, ...(68+97n) :

1/97 en base 68 = 0,0-47-45-38-37-58-12-42-4-14-1-27-23-9-7-48-25-16-8-28-2-54-46-18-15-28-50-32-16-56-5-41-24-36-30-57-32-64-33-44-11-14-49-4-61-46-65-60===67-20-22-29-30-9-55-25-63-53-66-40-44-58-60-19-42-51-59-39-65-13-21-49-52-39-17-35-51-11-62-26-43-31-37-10-35-3-34-23-56-53-18-63-6-21-2-7...

1/97 en base 165 = 0,1-115-110-93-91-141-30-102-10-34-3-66-56-22-18-117-61-39-20-68-6-132-112-44-37-69-122-78-40-136-13-100-59-88-74-139-79-156-81-107-27-35-119-11-149-113-159-147===163-49-54-71-73-23-134-62-154-130-161-98-108-142-146-47-103-125-144-96-158-32-52-120-127-95-42-86-124-28-151-64-105-76-90-25-85-8-83-57-137-129-45-153-15-51-5-17...

1/97 en base 262 = 0,2-183-175-148-145-224-48-162-16-54-5-105-89-35-29-186-97-62-32-108-10-210-178-70-59-110-194-124-64-216-21-159-94-140-118-221-126-248-129-170-43-56-189-18-237-180-253-234===259-78-86-113-116-37-213-99-245-207-256-156-172-226-232-75-164-199-229-153-251-51-83-191-202-151-67-137-197-45-240-102-167-121-143-40-135-13-132-91-218-205-72-243-24-81-8-27...

Et de manière générale en base 68+97n :

[n][47+68n][45+65n][38+55n][37+54n][58+83n][12+18n][42+60n][4+6n][14+20n][1+2n][27+39n][23+33n][9+13n][7+11n][48+69n][25+36n][16+23n][8+12n][28+40n][2+4n][54+78n][46+66n][18+26n][15+22n][28+41n][50+72n][32+46n][16+24n][56+80n][5+8n][41+59n][24+35n][36+52n][30+44n][57+82n][32+47n][64+92n][33+48n][44+63n][11+16n][14+21n][49+70n][4+7n][61+88n][46+67n][65+94n][60+87n]===[67+96n][20+29n][22+32n][29+42n][30+43n][9+14n][55+79n][25+37n][63+91n][53+77n][66+95n][40+58n][44+64n][58+84n][60+86n][19+28n][42+61n][51+74n][59+85n][39+57n][65+93n][13+19n][21+31n][49+71n][52+75n][39+56n][17+25n][35+51n][51+73n][11+17n][62+89n][26+38n][43+62n][31+45n][37+53n][10+15n][35+50n][3+5n][34+49n][23+34n][56+81n][53+76n][18+27n][63+90n][6+9n][21+30n][2+3n][7+10n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 68 modulo 97

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 10+97n.

Constatons que 10x68 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97