Pourquoi les périodes de n/97 en base 13+97n se regroupent elles en cette série ?

1-13-72-63-43-74-89-90-6-78-44-87-64-56-49-55-36-80-70-37-93-45-3-39-22-92-32-28-73-76-18-40-35-67-95-71-50-68-11-46-16-14-85-38-9-20-66-82===96-84-25-34-54-23-8-7-91-19-53-10-33-41-48-42-61-17-27-60-4-52-94-58-75-5-65-69-24-21-79-57-62-30-2-26-47-29-86-51-81-83-12-59-88-77-31-15

Calculons 1/97 en base 13+97n (13, 110, 207, ...) :

1/97 en base 13 = 0,0-1-9-8-5-9-11-12-0-10-5-11-8-7-6-7-4-10-9-4-12-6-0-5-2-12-4-3-9-10-2-5-4-8-12-9-6-9-1-6-2-1-11-5-1-2-8-10===12-11-3-4-7-3-1-0-12-2-7-1-4-5-6-5-8-2-3-8-0-6-12-7-10-0-8-9-3-2-10-7-8-4-0-3-6-3-11-6-10-11-1-7-11-10-4-2...

1/97 en base 110 = 0,1-14-81-71-48-83-100-102-6-88-49-98-72-63-55-62-40-90-79-41-105-51-3-44-24-104-36-31-82-86-20-45-39-75-107-80-56-77-12-52-18-15-96-43-10-22-74-92===108-95-28-38-61-26-9-7-103-21-60-11-37-46-54-47-69-19-30-68-4-58-106-65-85-5-73-78-27-23-89-64-70-34-2-29-53-32-97-57-91-94-13-66-99-87-35-17...

1/97 en base 207 = 0,2-27-153-134-91-157-189-192-12-166-93-185-136-119-104-117-76-170-149-78-198-96-6-83-46-196-68-59-155-162-38-85-74-142-202-151-106-145-23-98-34-29-181-81-19-42-140-174===204-179-53-72-115-49-17-14-194-40-113-21-70-87-102-89-130-36-57-128-8-110-200-123-160-10-138-147-51-44-168-121-132-64-4-55-100-61-183-108-172-177-25-125-187-164-66-32...

Et de manière générale en base 13+97n :

[n][1+13n][9+72n][8+63n][5+43n][9+74n][11+89n][12+90n][6n][10+78n][5+44n][11+87n][8+64n][7+56n][6+49n][7+55n][4+36n][10+80n][9+70n][4+37n][12+93n][6+45n][3n][5+39n][2+22n][12+92n][4+32n][3+28n][9+73n][10+76n][2+18n][5+40n][4+35n][8+67n][12+95n][9+71n][6+50n][9+68n][1+11n][6+46n][2+16n][1+14n][11+85n][5+38n][1+9n][2+20n][8+66n][10+82n]===[12+96n][11+84n][3+25n][4+34n][7+54n][3+23n][1+8n][7n][12+91n][2+19n][7+53n][1+10n][4+33n][5+41n][6+48n][5+42n][8+61n][2+17n][3+27n][8+60n][4n][6+52n][12+94n][7+58n][10+75n][5n][8+65n][9+69n][3+24n][2+21n][10+79n][7+57n][8+62n][4+30n][2n][3+26n][6+47n][3+29n][11+86n][6+51n][10+81n][11+83n][1+12n][7+59n][11+88n][10+77n][4+31n][2+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-13-72-63-43-74-89-90-6-78-44-87-64-56-49-55-36-80-70-37-93-45-3-39-22-92-32-28-73-76-18-40-35-67-95-71-50-68-11-46-16-14-85-38-9-20-66-82===96-84-25-34-54-23-8-7-91-19-53-10-33-41-48-42-61-17-27-60-4-52-94-58-75-5-65-69-24-21-79-57-62-30-2-26-47-29-86-51-81-83-12-59-88-77-31-15

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 97 

Calcul de 1/97 en base 15+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 15+97n. La série est alors :

1-15-31-77-88-59-12-83-81-51-86-29-47-26-2-30-62-57-79-21-24-69-65-5-75-58-94-52-4-60-27-17-61-42-48-41-33-10-53-19-91-7-8-23-54-34-25-84===96-82-66-20-9-38-85-14-16-46-11-68-50-71-95-67-35-40-18-76-73-28-32-92-22-39-3-45-93-37-70-80-36-55-49-56-64-87-44-78-6-90-89-74-43-63-72-13

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 13+97n.

Calculons 1/97 en base : 15, 112, 209, ...(15+97n) :

1/97 en base 15 = 0,0-2-4-11-13-9-1-12-12-7-13-4-7-4-0-4-9-8-12-3-3-10-10-0-11-8-14-8-0-9-4-2-9-6-7-6-5-1-8-2-14-1-1-3-8-5-3-12===14-12-10-3-1-5-13-2-2-7-1-10-7-10-14-10-5-6-2-11-11-4-4-14-3-6-0-6-14-5-10-12-5-8-7-8-9-13-6-12-0-13-13-11-6-9-11-2...

1/97 en base 112 = 0,1-17-35-88-101-68-13-95-93-58-99-33-54-30-2-34-71-65-91-24-27-79-75-5-86-66-108-60-4-69-31-19-70-48-55-47-38-11-61-21-105-8-9-26-62-39-28-96===110-94-76-23-10-43-98-16-18-53-12-78-57-81-109-77-40-46-20-87-84-32-36-106-25-45-3-51-107-42-80-92-41-63-56-64-73-100-50-90-6-103-102-85-49-72-83-15...

1/97 en base 209 = 0,2-32-66-165-189-127-25-178-174-109-185-62-101-56-4-64-133-122-170-45-51-148-140-10-161-124-202-112-8-129-58-36-131-90-103-88-71-21-114-40-196-15-17-49-116-73-53-180===206-176-142-43-19-81-183-30-34-99-23-146-107-152-204-144-75-86-38-163-157-60-68-198-47-84-6-96-200-79-150-172-77-118-105-120-137-187-94-168-12-193-191-159-92-135-155-28...

Et de manière générale en base 15+97n :

[n][2+15n][4+31n][11+77n][13+88n][9+59n][1+12n][12+83n][12+81n][7+51n][13+86n][4+29n][7+47n][4+26n][2n][4+30n][9+62n][8+57n][12+79n][3+21n][3+24n][10+69n][10+65n][5n][11+75n][8+58n][14+94n][8+52n][4n][9+60n][4+27n][2+17n][9+61n][6+42n][7+48n][6+41n][5+33n][1+10n][8+53n][2+19n][14+91n][1+7n][1+8n][3+23n][8+54n][5+34n][3+25n][12+84n]===[14+96n][12+82n][10+66n][3+20n][1+9n][5+38n][13+85n][2+14n][2+16n][7+46n][1+11n][10+68n][7+50n][10+71n][14+95n][10+67n][5+35n][6+40n][2+18n][11+76n][11+73n][4+28n][4+32n][14+92n][3+22n][6+39n][3n][6+45n][14+93n][5+37n][10+70n][12+80n][5+36n][8+55n][7+49n][8+56n][9+64n][13+87n][6+44n][12+78n][6n][13+90n][13+89n][11+74n][6+43n][9+63n][11+72n][2+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-15-31-77-88-59-12-83-81-51-86-29-47-26-2-30-62-57-79-21-24-69-65-5-75-58-94-52-4-60-27-17-61-42-48-41-33-10-53-19-91-7-8-23-54-34-25-84===96-82-66-20-9-38-85-14-16-46-11-68-50-71-95-67-35-40-18-76-73-28-32-92-22-39-3-45-93-37-70-80-36-55-49-56-64-87-44-78-6-90-89-74-43-63-72-13

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 97 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 13+97n.

Constatons que 13x15 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97