Pourquoi les périodes de n/97 en base 17+97n se regroupent elles en cette série ?

1-17-95-63-4-68-89-58-16-78-65-38-64-21-66-55-62-84-70-26-54-45-86-7-22-83-53-28-88-41-18-15-61-67-72-60-50-74-94-46-6-5-85-87-24-20-49-57===96-80-2-34-93-29-8-39-81-19-32-59-33-76-31-42-35-13-27-71-43-52-11-90-75-14-44-69-9-56-79-82-36-30-25-37-47-23-3-51-91-92-12-10-73-77-48-40

Calculons 1/97 en base 17+97n (17, 114, 211, ...) :

1/97 en base 17 = 0,0-2-16-11-0-11-15-10-2-13-11-6-11-3-11-9-10-14-12-4-9-7-15-1-3-14-9-4-15-7-3-2-10-11-12-10-8-12-16-8-1-0-14-15-4-3-8-9===16-14-0-5-16-5-1-6-14-3-5-10-5-13-5-7-6-2-4-12-7-9-1-15-13-2-7-12-1-9-13-14-6-5-4-6-8-4-0-8-15-16-2-1-12-13-8-7...

1/97 en base 114 = 0,1-19-111-74-4-79-104-68-18-91-76-44-75-24-77-64-72-98-82-30-63-52-101-8-25-97-62-32-103-48-21-17-71-78-84-70-58-86-110-54-7-5-99-102-28-23-57-66===112-94-2-39-109-34-9-45-95-22-37-69-38-89-36-49-41-15-31-83-50-61-12-105-88-16-51-81-10-65-92-96-42-35-29-43-55-27-3-59-106-108-14-11-85-90-56-47...

1/97 en base 211 = 0,2-36-206-137-8-147-193-126-34-169-141-82-139-45-143-119-134-182-152-56-117-97-187-15-47-180-115-60-191-89-39-32-132-145-156-130-108-160-204-100-13-10-184-189-52-43-106-123===208-174-4-73-202-63-17-84-176-41-69-128-71-165-67-91-76-28-58-154-93-113-23-195-163-30-95-150-19-121-171-178-78-65-54-80-102-50-6-110-197-200-26-21-158-167-104-87...

Et de manière générale en base 17+97n :

[n][2+17n][16+95n][11+63n][4n][11+68n][15+89n][10+58n][2+16n][13+78n][11+65n][6+38n][11+64n][3+21n][11+66n][9+55n][10+62n][14+84n][12+70n][4+26n][9+54n][7+45n][15+86n][1+7n][3+22n][14+83n][9+53n][4+28n][15+88n][7+41n][3+18n][2+15n][10+61n][11+67n][12+72n][10+60n][8+50n][12+74n][16+94n][8+46n][1+6n][5n][14+85n][15+87n][4+24n][3+20n][8+49n][9+57n]===[16+96n][14+80n][2n][5+34n][16+93n][5+29n][1+8n][6+39n][14+81n][3+19n][5+32n][10+59n][5+33n][13+76n][5+31n][7+42n][6+35n][2+13n][4+27n][12+71n][7+43n][9+52n][1+11n][15+90n][13+75n][2+14n][7+44n][12+69n][1+9n][9+56n][13+79n][14+82n][6+36n][5+30n][4+25n][6+37n][8+47n][4+23n][3n][8+51n][15+91n][16+92n][2+12n][1+10n][12+73n][13+77n][8+48n][7+40n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-17-95-63-4-68-89-58-16-78-65-38-64-21-66-55-62-84-70-26-54-45-86-7-22-83-53-28-88-41-18-15-61-67-72-60-50-74-94-46-6-5-85-87-24-20-49-57===96-80-2-34-93-29-8-39-81-19-32-59-33-76-31-42-35-13-27-71-43-52-11-90-75-14-44-69-9-56-79-82-36-30-25-37-47-23-3-51-91-92-12-10-73-77-48-40

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 17 modulo 97 

Calcul de 1/97 en base 40+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 40+97n. La série est alors :

1-40-48-77-73-10-12-92-91-51-3-23-47-37-25-30-36-82-79-56-9-69-44-14-75-90-11-52-43-71-27-13-35-42-31-76-33-59-32-19-81-39-8-29-93-34-2-80===96-57-49-20-24-87-85-5-6-46-94-74-50-60-72-67-61-15-18-41-88-28-53-83-22-7-86-45-54-26-70-84-62-55-66-21-64-38-65-78-16-58-89-68-4-63-95-17

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 17+97n.

Calculons 1/97 en base : 40, 137, 234, ...(40+97n) :

1/97 en base 40 = 0,0-16-19-31-30-4-4-37-37-21-1-9-19-15-10-12-14-33-32-23-3-28-18-5-30-37-4-21-17-29-11-5-14-17-12-31-13-24-13-7-33-16-3-11-38-14-0-32===39-23-20-8-9-35-35-2-2-18-38-30-20-24-29-27-25-6-7-16-36-11-21-34-9-2-35-18-22-10-28-34-25-22-27-8-26-15-26-32-6-23-36-28-1-25-39-7...

1/97 en base 137 = 0,1-56-67-108-103-14-16-129-128-72-4-32-66-52-35-42-50-115-111-79-12-97-62-19-105-127-15-73-60-100-38-18-49-59-43-107-46-83-45-26-114-55-11-40-131-48-2-112===135-80-69-28-33-122-120-7-8-64-132-104-70-84-101-94-86-21-25-57-124-39-74-117-31-9-121-63-76-36-98-118-87-77-93-29-90-53-91-110-22-81-125-96-5-88-134-24...

1/97 en base 234 = 0,2-96-115-185-176-24-28-221-219-123-7-55-113-89-60-72-86-197-190-135-21-166-106-33-180-217-26-125-103-171-65-31-84-101-74-183-79-142-77-45-195-94-19-69-224-82-4-192===231-137-118-48-57-209-205-12-14-110-226-178-120-144-173-161-147-36-43-98-212-67-127-200-53-16-207-108-130-62-168-202-149-132-159-50-154-91-156-188-38-139-214-164-9-151-229-41...

Et de manière générale en base 40+97n :

[n][16+40n][19+48n][31+77n][30+73n][4+10n][4+12n][37+92n][37+91n][21+51n][1+3n][9+23n][19+47n][15+37n][10+25n][12+30n][14+36n][33+82n][32+79n][23+56n][3+9n][28+69n][18+44n][5+14n][30+75n][37+90n][4+11n][21+52n][17+43n][29+71n][11+27n][5+13n][14+35n][17+42n][12+31n][31+76n][13+33n][24+59n][13+32n][7+19n][33+81n][16+39n][3+8n][11+29n][38+93n][14+34n][2n][32+80n]===[39+96n][23+57n][20+49n][8+20n][9+24n][35+87n][35+85n][2+5n][2+6n][18+46n][38+94n][30+74n][20+50n][24+60n][29+72n][27+67n][25+61n][6+15n][7+18n][16+41n][36+88n][11+28n][21+53n][34+83n][9+22n][2+7n][35+86n][18+45n][22+54n][10+26n][28+70n][34+84n][25+62n][22+55n][27+66n][8+21n][26+64n][15+38n][26+65n][32+78n][6+16n][23+58n][36+89n][28+68n][1+4n][25+63n][39+95n][7+17n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-40-48-77-73-10-12-92-91-51-3-23-47-37-25-30-36-82-79-56-9-69-44-14-75-90-11-52-43-71-27-13-35-42-31-76-33-59-32-19-81-39-8-29-93-34-2-80===96-57-49-20-24-87-85-5-6-46-94-74-50-60-72-67-61-15-18-41-88-28-53-83-22-7-86-45-54-26-70-84-62-55-66-21-64-38-65-78-16-58-89-68-4-63-95-17

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 40 modulo 97 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 17+97n.

Constatons que 17x40 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97