Calcul de 1/97 en base 21+97n.

Pourquoi les périodes de n/97 en base 21+97n se regroupent elles en cette série ?

1-21-53-46-93-13-79-10-16-45-72-57-33-14-3-63-62-41-85-39-43-30-48-38-22-74-2-42-9-92-89-26-61-20-32-90-47-17-66-28-6-29-27-82-73-78-86-60===96-76-44-51-4-84-18-87-81-52-25-40-64-83-94-34-35-56-12-58-54-67-49-59-75-23-95-55-88-5-8-71-36-77-65-7-50-80-31-69-91-68-70-15-24-19-11-37

Calculons 1/97 en base 21+97n (21, 118, 215, ...) :

1/97 en base 21 = 0,0-4-11-9-20-2-17-2-3-9-15-12-7-3-0-13-13-8-18-8-9-6-10-8-4-16-0-9-1-19-19-5-13-4-6-19-10-3-14-6-1-6-5-17-15-16-18-12===20-16-9-11-0-18-3-18-17-11-5-8-13-17-20-7-7-12-2-12-11-14-10-12-16-4-20-11-19-1-1-15-7-16-14-1-10-17-6-14-19-14-15-3-5-4-2-8...

1/97 en base 118 = 0,1-25-64-55-113-15-96-12-19-54-87-69-40-17-3-76-75-49-103-47-52-36-58-46-26-90-2-51-10-111-108-31-74-24-38-109-57-20-80-34-7-35-32-99-88-94-104-72===116-92-53-62-4-102-21-105-98-63-30-48-77-100-114-41-42-68-14-70-65-81-59-71-91-27-115-66-107-6-9-86-43-93-79-8-60-97-37-83-110-82-85-18-29-23-13-45...

1/97 en base 215 = 0,2-46-117-101-206-28-175-22-35-99-159-126-73-31-6-139-137-90-188-86-95-66-106-84-48-164-4-93-19-203-197-57-135-44-70-199-104-37-146-62-13-64-59-181-161-172-190-132===212-168-97-113-8-186-39-192-179-115-55-88-141-183-208-75-77-124-26-128-119-148-108-130-166-50-210-121-195-11-17-157-79-170-144-15-110-177-68-152-201-150-155-33-53-42-24-82...

Et de manière générale en base 21+97n :

[n][4+21n][11+53n][9+46n][20+93n][2+13n][17+79n][2+10n][3+16n][9+45n][15+72n][12+57n][7+33n][3+14n][3n][13+63n][13+62n][8+41n][18+85n][8+39n][9+43n][6+30n][10+48n][8+38n][4+22n][16+74n][2n][9+42n][1+9n][19+92n][19+89n][5+26n][13+61n][4+20n][6+32n][19+90n][10+47n][3+17n][14+66n][6+28n][1+6n][6+29n][5+27n][17+82n][15+73n][16+78n][18+86n][12+60n]===[20+96n][16+76n][9+44n][11+51n][4n][18+84n][3+18n][18+87n][17+81n][11+52n][5+25n][8+40n][13+64n][17+83n][20+94n][7+34n][7+35n][12+56n][2+12n][12+58n][11+54n][14+67n][10+49n][12+59n][16+75n][4+23n][20+95n][11+55n][19+88n][1+5n][1+8n][15+71n][7+36n][16+77n][14+65n][1+7n][10+50n][17+80n][6+31n][14+69n][19+91n][14+68n][15+70n][3+15n][5+24n][4+19n][2+11n][8+37n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 21 modulo 97

Calcul de 1/97 en base 37+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 37+97n. La série est alors :

1-37-11-19-24-15-70-68-91-69-31-80-50-7-65-77-36-71-8-5-88-55-95-23-75-59-49-67-54-58-12-56-35-34-94-83-64-40-25-52-81-87-18-84-4-51-44-76===96-60-86-78-73-82-27-29-6-28-66-17-47-90-32-20-61-26-89-92-9-42-2-74-22-38-48-30-43-39-85-41-62-63-3-14-33-57-72-45-16-10-79-13-93-46-53-21

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 21+97n.

Calculons 1/97 en base : 37, 134, 231, ...(37+97n) :

1/97 en base 37 = 0,0-14-4-7-9-5-26-25-34-26-11-30-19-2-24-29-13-27-3-1-33-20-36-8-28-22-18-25-20-22-4-21-13-12-35-31-24-15-9-19-30-33-6-32-1-19-16-28===36-22-32-29-27-31-10-11-2-10-25-6-17-34-12-7-23-9-33-35-3-16-0-28-8-14-18-11-16-14-32-15-23-24-1-5-12-21-27-17-6-3-30-4-35-17-20-8...

1/97 en base 134 = 0,1-51-15-26-33-20-96-93-125-95-42-110-69-9-89-106-49-98-11-6-121-75-131-31-103-81-67-92-74-80-16-77-48-46-129-114-88-55-34-71-111-120-24-116-5-70-60-104===132-82-118-107-100-113-37-40-8-38-91-23-64-124-44-27-84-35-122-127-12-58-2-102-30-52-66-41-59-53-117-56-85-87-4-19-45-78-99-62-22-13-109-17-128-63-73-29...

1/97 en base 231 = 0,2-88-26-45-57-35-166-161-216-164-73-190-119-16-154-183-85-169-19-11-209-130-226-54-178-140-116-159-128-138-28-133-83-80-223-197-152-95-59-123-192-207-42-200-9-121-104-180===228-142-204-185-173-195-64-69-14-66-157-40-111-214-76-47-145-61-211-219-21-100-4-176-52-90-114-71-102-92-202-97-147-150-7-33-78-135-171-107-38-23-188-30-221-109-126-50...

Et de manière générale en base 37+97n :

[n][14+37n][4+11n][7+19n][9+24n][5+15n][26+70n][25+68n][34+91n][26+69n][11+31n][30+80n][19+50n][2+7n][24+65n][29+77n][13+36n][27+71n][3+8n][1+5n][33+88n][20+55n][36+95n][8+23n][28+75n][22+59n][18+49n][25+67n][20+54n][22+58n][4+12n][21+56n][13+35n][12+34n][35+94n][31+83n][24+64n][15+40n][9+25n][19+52n][30+81n][33+87n][6+18n][32+84n][1+4n][19+51n][16+44n][28+76n]===[36+96n][22+60n][32+86n][29+78n][27+73n][31+82n][10+27n][11+29n][2+6n][10+28n][25+66n][6+17n][17+47n][34+90n][12+32n][7+20n][23+61n][9+26n][33+89n][35+92n][3+9n][16+42n][2n][28+74n][8+22n][14+38n][18+48n][11+30n][16+43n][14+39n][32+85n][15+41n][23+62n][24+63n][1+3n][5+14n][12+33n][21+57n][27+72n][17+45n][6+16n][3+10n][30+79n][4+13n][35+93n][17+46n][20+53n][8+21n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 37 modulo 97

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 21+97n.

Constatons que 21x37 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97