Pourquoi les périodes de n/97 en base 23+97n se regroupent elles en cette série ?

1-23-44-42-93-5-18-26-16-77-25-90-33-80-94-28-62-68-12-82-43-19-49-60-22-21-95-51-9-13-8-87-61-45-65-40-47-14-31-34-6-41-70-58-73-30-11-59===96-74-53-55-4-92-79-71-81-20-72-7-64-17-3-69-35-29-85-15-54-78-48-37-75-76-2-46-88-84-89-10-36-52-32-57-50-83-66-63-91-56-27-39-24-67-86-38

Calculons 1/97 en base 23+97n (23, 120, 217, ...) :

1/97 en base 23 = 0,0-5-10-9-22-1-4-6-3-18-5-21-7-18-22-6-14-16-2-19-10-4-11-14-5-4-22-12-2-3-1-20-14-10-15-9-11-3-7-8-1-9-16-13-17-7-2-13===22-17-12-13-0-21-18-16-19-4-17-1-15-4-0-16-8-6-20-3-12-18-11-8-17-18-0-10-20-19-21-2-8-12-7-13-11-19-15-14-21-13-6-9-5-15-20-9...

1/97 en base 120 = 0,1-28-54-51-115-6-22-32-19-95-30-111-40-98-116-34-76-84-14-101-53-23-60-74-27-25-117-63-11-16-9-107-75-55-80-49-58-17-38-42-7-50-86-71-90-37-13-72===118-91-65-68-4-113-97-87-100-24-89-8-79-21-3-85-43-35-105-18-66-96-59-45-92-94-2-56-108-103-110-12-44-64-39-70-61-102-81-77-112-69-33-48-29-82-106-47...

1/97 en base 217 = 0,2-51-98-93-208-11-40-58-35-172-55-201-73-178-210-62-138-152-26-183-96-42-109-134-49-46-212-114-20-29-17-194-136-100-145-89-105-31-69-76-13-91-156-129-163-67-24-131===214-165-118-123-8-205-176-158-181-44-161-15-143-38-6-154-78-64-190-33-120-174-107-82-167-170-4-102-196-187-199-22-80-116-71-127-111-185-147-140-203-125-60-87-53-149-192-85...

Et de manière générale en base 23+97n :

[n][5+23n][10+44n][9+42n][22+93n][1+5n][4+18n][6+26n][3+16n][18+77n][5+25n][21+90n][7+33n][18+80n][22+94n][6+28n][14+62n][16+68n][2+12n][19+82n][10+43n][4+19n][11+49n][14+60n][5+22n][4+21n][22+95n][12+51n][2+9n][3+13n][1+8n][20+87n][14+61n][10+45n][15+65n][9+40n][11+47n][3+14n][7+31n][8+34n][1+6n][9+41n][16+70n][13+58n][17+73n][7+30n][2+11n][13+59n]===[22+96n][17+74n][12+53n][13+55n][4n][21+92n][18+79n][16+71n][19+81n][4+20n][17+72n][1+7n][15+64n][4+17n][3n][16+69n][8+35n][6+29n][20+85n][3+15n][12+54n][18+78n][11+48n][8+37n][17+75n][18+76n][2n][10+46n][20+88n][19+84n][21+89n][2+10n][8+36n][12+52n][7+32n][13+57n][11+50n][19+83n][15+66n][14+63n][21+91n][13+56n][6+27n][9+39n][5+24n][15+67n][20+86n][9+38n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-23-44-42-93-5-18-26-16-77-25-90-33-80-94-28-62-68-12-82-43-19-49-60-22-21-95-51-9-13-8-87-61-45-65-40-47-14-31-34-6-41-70-58-73-30-11-59===96-74-53-55-4-92-79-71-81-20-72-7-64-17-3-69-35-29-85-15-54-78-48-37-75-76-2-46-88-84-89-10-36-52-32-57-50-83-66-63-91-56-27-39-24-67-86-38

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 23 modulo 97 

Calcul de 1/97 en base 38+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 38+97n. La série est alors :

1-38-86-67-24-39-27-56-91-63-66-83-50-57-32-52-36-10-89-84-88-46-2-76-75-37-48-78-54-15-85-29-35-69-3-17-64-7-72-20-81-71-79-92-4-55-53-74===96-59-11-30-73-58-70-41-6-34-31-14-47-40-65-45-61-87-8-13-9-51-95-21-22-60-49-19-43-82-12-68-62-28-94-80-33-90-25-77-16-26-18-5-93-42-44-23

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 23+97n.

Calculons 1/97 en base : 38, 135, 232, ...(38+97n) :

1/97 en base 38 = 0,0-14-33-26-9-15-10-21-35-24-25-32-19-22-12-20-14-3-34-32-34-18-0-29-29-14-18-30-21-5-33-11-13-27-1-6-25-2-28-7-31-27-30-36-1-21-20-28===37-23-4-11-28-22-27-16-2-13-12-5-18-15-25-17-23-34-3-5-3-19-37-8-8-23-19-7-16-32-4-26-24-10-36-31-12-35-9-30-6-10-7-1-36-16-17-9...

1/97 en base 135 = 0,1-52-119-93-33-54-37-77-126-87-91-115-69-79-44-72-50-13-123-116-122-64-2-105-104-51-66-108-75-20-118-40-48-96-4-23-89-9-100-27-112-98-109-128-5-76-73-102===133-82-15-41-101-80-97-57-8-47-43-19-65-55-90-62-84-121-11-18-12-70-132-29-30-83-68-26-59-114-16-94-86-38-130-111-45-125-34-107-22-36-25-6-129-58-61-32...

1/97 en base 232 = 0,2-90-205-160-57-93-64-133-217-150-157-198-119-136-76-124-86-23-212-200-210-110-4-181-179-88-114-186-129-35-203-69-83-165-7-40-153-16-172-47-193-169-188-220-9-131-126-176===229-141-26-71-174-138-167-98-14-81-74-33-112-95-155-107-145-208-19-31-21-121-227-50-52-143-117-45-102-196-28-162-148-66-224-191-78-215-59-184-38-62-43-11-222-100-105-55...

Et de manière générale en base 38+97n :

[n][14+38n][33+86n][26+67n][9+24n][15+39n][10+27n][21+56n][35+91n][24+63n][25+66n][32+83n][19+50n][22+57n][12+32n][20+52n][14+36n][3+10n][34+89n][32+84n][34+88n][18+46n][2n][29+76n][29+75n][14+37n][18+48n][30+78n][21+54n][5+15n][33+85n][11+29n][13+35n][27+69n][1+3n][6+17n][25+64n][2+7n][28+72n][7+20n][31+81n][27+71n][30+79n][36+92n][1+4n][21+55n][20+53n][28+74n]===[37+96n][23+59n][4+11n][11+30n][28+73n][22+58n][27+70n][16+41n][2+6n][13+34n][12+31n][5+14n][18+47n][15+40n][25+65n][17+45n][23+61n][34+87n][3+8n][5+13n][3+9n][19+51n][37+95n][8+21n][8+22n][23+60n][19+49n][7+19n][16+43n][32+82n][4+12n][26+68n][24+62n][10+28n][36+94n][31+80n][12+33n][35+90n][9+25n][30+77n][6+16n][10+26n][7+18n][1+5n][36+93n][16+42n][17+44n][9+23n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-38-86-67-24-39-27-56-91-63-66-83-50-57-32-52-36-10-89-84-88-46-2-76-75-37-48-78-54-15-85-29-35-69-3-17-64-7-72-20-81-71-79-92-4-55-53-74===96-59-11-30-73-58-70-41-6-34-31-14-47-40-65-45-61-87-8-13-9-51-95-21-22-60-49-19-43-82-12-68-62-28-94-80-33-90-25-77-16-26-18-5-93-42-44-23

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 38 modulo 97 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 23+97n.

Constatons que 23x38 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97