Pourquoi les périodes de n/97 en base 26+97n se regroupent elles en cette série ?

1-26-94-19-9-40-70-74-81-69-48-84-50-39-44-77-62-60-8-14-73-55-72-29-75-10-66-67-93-90-12-21-61-34-11-92-64-15-2-52-91-38-18-80-43-51-65-41===96-71-3-78-88-57-27-23-16-28-49-13-47-58-53-20-35-37-89-83-24-42-25-68-22-87-31-30-4-7-85-76-36-63-86-5-33-82-95-45-6-59-79-17-54-46-32-56

Calculons 1/97 en base 26+97n (26, 123, 220, ...) :

1/97 en base 26 = 0,0-6-25-5-2-10-18-19-21-18-12-22-13-10-11-20-16-16-2-3-19-14-19-7-20-2-17-17-24-24-3-5-16-9-2-24-17-4-0-13-24-10-4-21-11-13-17-10===25-19-0-20-23-15-7-6-4-7-13-3-12-15-14-5-9-9-23-22-6-11-6-18-5-23-8-8-1-1-22-20-9-16-23-1-8-21-25-12-1-15-21-4-14-12-8-15...

1/97 en base 123 = 0,1-32-119-24-11-50-88-93-102-87-60-106-63-49-55-97-78-76-10-17-92-69-91-36-95-12-83-84-117-114-15-26-77-43-13-116-81-19-2-65-115-48-22-101-54-64-82-51===121-90-3-98-111-72-34-29-20-35-62-16-59-73-67-25-44-46-112-105-30-53-31-86-27-110-39-38-5-8-107-96-45-79-109-6-41-103-120-57-7-74-100-21-68-58-40-71...

1/97 en base 220 = 0,2-58-213-43-20-90-158-167-183-156-108-190-113-88-99-174-140-136-18-31-165-124-163-65-170-22-149-151-210-204-27-47-138-77-24-208-145-34-4-117-206-86-40-181-97-115-147-92===217-161-6-176-199-129-61-52-36-63-111-29-106-131-120-45-79-83-201-188-54-95-56-154-49-197-70-68-9-15-192-172-81-142-195-11-74-185-215-102-13-133-179-38-122-104-72-127...

Et de manière générale en base 26+97n :

[n][6+26n][25+94n][5+19n][2+9n][10+40n][18+70n][19+74n][21+81n][18+69n][12+48n][22+84n][13+50n][10+39n][11+44n][20+77n][16+62n][16+60n][2+8n][3+14n][19+73n][14+55n][19+72n][7+29n][20+75n][2+10n][17+66n][17+67n][24+93n][24+90n][3+12n][5+21n][16+61n][9+34n][2+11n][24+92n][17+64n][4+15n][2n][13+52n][24+91n][10+38n][4+18n][21+80n][11+43n][13+51n][17+65n][10+41n]===[25+96n][19+71n][3n][20+78n][23+88n][15+57n][7+27n][6+23n][4+16n][7+28n][13+49n][3+13n][12+47n][15+58n][14+53n][5+20n][9+35n][9+37n][23+89n][22+83n][6+24n][11+42n][6+25n][18+68n][5+22n][23+87n][8+31n][8+30n][1+4n][1+7n][22+85n][20+76n][9+36n][16+63n][23+86n][1+5n][8+33n][21+82n][25+95n][12+45n][1+6n][15+59n][21+79n][4+17n][14+54n][12+46n][8+32n][15+56n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-26-94-19-9-40-70-74-81-69-48-84-50-39-44-77-62-60-8-14-73-55-72-29-75-10-66-67-93-90-12-21-61-34-11-92-64-15-2-52-91-38-18-80-43-51-65-41===96-71-3-78-88-57-27-23-16-28-49-13-47-58-53-20-35-37-89-83-24-42-25-68-22-87-31-30-4-7-85-76-36-63-86-5-33-82-95-45-6-59-79-17-54-46-32-56

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 26 modulo 97 

Calcul de 1/97 en base 56+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 56+97n. La série est alors :

1-56-32-46-54-17-79-59-6-45-95-82-33-5-86-63-36-76-85-7-4-30-31-87-22-68-25-42-24-83-89-37-35-20-53-58-47-13-49-28-16-23-27-57-88-78-3-71===96-41-65-51-43-80-18-38-91-52-2-15-64-92-11-34-61-21-12-90-93-67-66-10-75-29-72-55-73-14-8-60-62-77-44-39-50-84-48-69-81-74-70-40-9-19-94-26

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 26+97n.

Calculons 1/97 en base : 56, 153, 250, ...(56+97n) :

1/97 en base 56 = 0,0-32-18-26-31-9-45-34-3-25-54-47-19-2-49-36-20-43-49-4-2-17-17-50-12-39-14-24-13-47-51-21-20-11-30-33-27-7-28-16-9-13-15-32-50-45-1-40===55-23-37-29-24-46-10-21-52-30-1-8-36-53-6-19-35-12-6-51-53-38-38-5-43-16-41-31-42-8-4-34-35-44-25-22-28-48-27-39-46-42-40-23-5-10-54-15...

1/97 en base 153 = 0,1-88-50-72-85-26-124-93-9-70-149-129-52-7-135-99-56-119-134-11-6-47-48-137-34-107-39-66-37-130-140-58-55-31-83-91-74-20-77-44-25-36-42-89-138-123-4-111===151-64-102-80-67-126-28-59-143-82-3-23-100-145-17-53-96-33-18-141-146-105-104-15-118-45-113-86-115-22-12-94-97-121-69-61-78-132-75-108-127-116-110-63-14-29-148-41...

1/97 en base 250 = 0,2-144-82-118-139-43-203-152-15-115-244-211-85-12-221-162-92-195-219-18-10-77-79-224-56-175-64-108-61-213-229-95-90-51-136-149-121-33-126-72-41-59-69-146-226-201-7-182===247-105-167-131-110-206-46-97-234-134-5-38-164-237-28-87-157-54-30-231-239-172-170-25-193-74-185-141-188-36-20-154-159-198-113-100-128-216-123-177-208-190-180-103-23-48-242-67...

Et de manière générale en base 56+97n :

[n][32+56n][18+32n][26+46n][31+54n][9+17n][45+79n][34+59n][3+6n][25+45n][54+95n][47+82n][19+33n][2+5n][49+86n][36+63n][20+36n][43+76n][49+85n][4+7n][2+4n][17+30n][17+31n][50+87n][12+22n][39+68n][14+25n][24+42n][13+24n][47+83n][51+89n][21+37n][20+35n][11+20n][30+53n][33+58n][27+47n][7+13n][28+49n][16+28n][9+16n][13+23n][15+27n][32+57n][50+88n][45+78n][1+3n][40+71n]===[55+96n][23+41n][37+65n][29+51n][24+43n][46+80n][10+18n][21+38n][52+91n][30+52n][1+2n][8+15n][36+64n][53+92n][6+11n][19+34n][35+61n][12+21n][6+12n][51+90n][53+93n][38+67n][38+66n][5+10n][43+75n][16+29n][41+72n][31+55n][42+73n][8+14n][4+8n][34+60n][35+62n][44+77n][25+44n][22+39n][28+50n][48+84n][27+48n][39+69n][46+81n][42+74n][40+70n][23+40n][5+9n][10+19n][54+94n][15+26n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-56-32-46-54-17-79-59-6-45-95-82-33-5-86-63-36-76-85-7-4-30-31-87-22-68-25-42-24-83-89-37-35-20-53-58-47-13-49-28-16-23-27-57-88-78-3-71===96-41-65-51-43-80-18-38-91-52-2-15-64-92-11-34-61-21-12-90-93-67-66-10-75-29-72-55-73-14-8-60-62-77-44-39-50-84-48-69-81-74-70-40-9-19-94-26

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 56 modulo 97 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 26+97n.

Constatons que 26x56 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97