Calcul de 1/97 en base 29+97n.

Pourquoi les périodes de n/97 en base 29+97n se regroupent elles en cette série ?

1-29-65-42-54-14-18-37-6-77-2-58-33-84-11-28-36-74-12-57-4-19-66-71-22-56-72-51-24-17-8-38-35-45-44-15-47-5-48-34-16-76-70-90-88-30-94-10===96-68-32-55-43-83-79-60-91-20-95-39-64-13-86-69-61-23-85-40-93-78-31-26-75-41-25-46-73-80-89-59-62-52-53-82-50-92-49-63-81-21-27-7-9-67-3-87

Calculons 1/97 en base 29+97n (29, 126, 223, ...) :

1/97 en base 29 = 0,0-8-19-12-16-4-5-11-1-23-0-17-9-25-3-8-10-22-3-17-1-5-19-21-6-16-21-15-7-5-2-11-10-13-13-4-14-1-14-10-4-22-20-26-26-8-28-2===28-20-9-16-12-24-23-17-27-5-28-11-19-3-25-20-18-6-25-11-27-23-9-7-22-12-7-13-21-23-26-17-18-15-15-24-14-27-14-18-24-6-8-2-2-20-0-26...

1/97 en base 126 = 0,1-37-84-54-70-18-23-48-7-100-2-75-42-109-14-36-46-96-15-74-5-24-85-92-28-72-93-66-31-22-10-49-45-58-57-19-61-6-62-44-20-98-90-116-114-38-122-12===124-88-41-71-55-107-102-77-118-25-123-50-83-16-111-89-79-29-110-51-120-101-40-33-97-53-32-59-94-103-115-76-80-67-68-106-64-119-63-81-105-27-35-9-11-87-3-113...

1/97 en base 223 = 0,2-66-149-96-124-32-41-85-13-177-4-133-75-193-25-64-82-170-27-131-9-43-151-163-50-128-165-117-55-39-18-87-80-103-101-34-108-11-110-78-36-174-160-206-202-68-216-22===220-156-73-126-98-190-181-137-209-45-218-89-147-29-197-158-140-52-195-91-213-179-71-59-172-94-57-105-167-183-204-135-142-119-121-188-114-211-112-144-186-48-62-16-20-154-6-200...

Et de manière générale en base 29+97n :

[n][8+29n][19+65n][12+42n][16+54n][4+14n][5+18n][11+37n][1+6n][23+77n][2n][17+58n][9+33n][25+84n][3+11n][8+28n][10+36n][22+74n][3+12n][17+57n][1+4n][5+19n][19+66n][21+71n][6+22n][16+56n][21+72n][15+51n][7+24n][5+17n][2+8n][11+38n][10+35n][13+45n][13+44n][4+15n][14+47n][1+5n][14+48n][10+34n][4+16n][22+76n][20+70n][26+90n][26+88n][8+30n][28+94n][2+10n]===[28+96n][20+68n][9+32n][16+55n][12+43n][24+83n][23+79n][17+60n][27+91n][5+20n][28+95n][11+39n][19+64n][3+13n][25+86n][20+69n][18+61n][6+23n][25+85n][11+40n][27+93n][23+78n][9+31n][7+26n][22+75n][12+41n][7+25n][13+46n][21+73n][23+80n][26+89n][17+59n][18+62n][15+52n][15+53n][24+82n][14+50n][27+92n][14+49n][18+63n][24+81n][6+21n][8+27n][2+7n][2+9n][20+67n][3n][26+87n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 29 modulo 97

Calcul de 1/97 en base 87+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 87+97n. La série est alors :

1-87-3-67-9-7-27-21-81-63-49-92-50-82-53-52-62-59-89-80-73-46-25-41-75-26-31-78-93-40-85-23-61-69-86-13-64-39-95-20-91-60-79-83-43-55-32-68===96-10-94-30-88-90-70-76-16-34-48-5-47-15-44-45-35-38-8-17-24-51-72-56-22-71-66-19-4-57-12-74-36-28-11-84-33-58-2-77-6-37-18-14-54-42-65-29

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 29+97n.

Calculons 1/97 en base : 87, 184, 281, ...(87+97n) :

1/97 en base 87 = 0,0-78-2-60-8-6-24-18-72-56-43-82-44-73-47-46-55-52-79-71-65-41-22-36-67-23-27-69-83-35-76-20-54-61-77-11-57-34-85-17-81-53-70-74-38-49-28-60===86-8-84-26-78-80-62-68-14-30-43-4-42-13-39-40-31-34-7-15-21-45-64-50-19-63-59-17-3-51-10-66-32-25-9-75-29-52-1-69-5-33-16-12-48-37-58-26...

1/97 en base 184 = 0,1-165-5-127-17-13-51-39-153-119-92-174-94-155-100-98-117-111-168-151-138-87-47-77-142-49-58-147-176-75-161-43-115-130-163-24-121-73-180-37-172-113-149-157-81-104-60-128===182-18-178-56-166-170-132-144-30-64-91-9-89-28-83-85-66-72-15-32-45-96-136-106-41-134-125-36-7-108-22-140-68-53-20-159-62-110-3-146-11-70-34-26-102-79-123-55...

1/97 en base 281 = 0,2-252-8-194-26-20-78-60-234-182-141-266-144-237-153-150-179-170-257-231-211-133-72-118-217-75-89-225-269-115-246-66-176-199-249-37-185-112-275-57-263-173-228-240-124-159-92-196===278-28-272-86-254-260-202-220-46-98-139-14-136-43-127-130-101-110-23-49-69-147-208-162-63-205-191-55-11-165-34-214-104-81-31-243-95-168-5-223-17-107-52-40-156-121-188-84...

Et de manière générale en base 87+97n :

[n][78+87n][2+3n][60+67n][8+9n][6+7n][24+27n][18+21n][72+81n][56+63n][43+49n][82+92n][44+50n][73+82n][47+53n][46+52n][55+62n][52+59n][79+89n][71+80n][65+73n][41+46n][22+25n][36+41n][67+75n][23+26n][27+31n][69+78n][83+93n][35+40n][76+85n][20+23n][54+61n][61+69n][77+86n][11+13n][57+64n][34+39n][85+95n][17+20n][81+91n][53+60n][70+79n][74+83n][38+43n][49+55n][28+32n][60+68n]===[86+96n][8+10n][84+94n][26+30n][78+88n][80+90n][62+70n][68+76n][14+16n][30+34n][43+48n][4+5n][42+47n][13+15n][39+44n][40+45n][31+35n][34+38n][7+8n][15+17n][21+24n][45+51n][64+72n][50+56n][19+22n][63+71n][59+66n][17+19n][3+4n][51+57n][10+12n][66+74n][32+36n][25+28n][9+11n][75+84n][29+33n][52+58n][1+2n][69+77n][5+6n][33+37n][16+18n][12+14n][48+54n][37+42n][58+65n][26+29n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 87 modulo 97

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 29+97n.

Constatons que 29x87 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97