Pourquoi les périodes de n/97 en base 41+97n se regroupent elles en cette série ?

1-41-32-51-54-80-79-38-6-52-95-15-33-92-86-34-36-21-85-90-4-67-31-10-22-29-25-55-24-14-89-60-35-77-53-39-47-84-49-69-16-74-27-40-88-19-3-26===96-56-65-46-43-17-18-59-91-45-2-82-64-5-11-63-61-76-12-7-93-30-66-87-75-68-72-42-73-83-8-37-62-20-44-58-50-13-48-28-81-23-70-57-9-78-94-71

Calculons 1/97 en base 41+97n (41, 138, 235, ...) :

1/97 en base 41 = 0,0-17-13-21-22-33-33-16-2-21-40-6-13-38-36-14-15-8-35-38-1-28-13-4-9-12-10-23-10-5-37-25-14-32-22-16-19-35-20-29-6-31-11-16-37-8-1-10===40-23-27-19-18-7-7-24-38-19-0-34-27-2-4-26-25-32-5-2-39-12-27-36-31-28-30-17-30-35-3-15-26-8-18-24-21-5-20-11-34-9-29-24-3-32-39-30...

1/97 en base 138 = 0,1-58-45-72-76-113-112-54-8-73-135-21-46-130-122-48-51-29-120-128-5-95-44-14-31-41-35-78-34-19-126-85-49-109-75-55-66-119-69-98-22-105-38-56-125-27-4-36===136-79-92-65-61-24-25-83-129-64-2-116-91-7-15-89-86-108-17-9-132-42-93-123-106-96-102-59-103-118-11-52-88-28-62-82-71-18-68-39-115-32-99-81-12-110-133-101...

1/97 en base 235 = 0,2-99-77-123-130-193-191-92-14-125-230-36-79-222-208-82-87-50-205-218-9-162-75-24-53-70-60-133-58-33-215-145-84-186-128-94-113-203-118-167-38-179-65-96-213-46-7-62===232-135-157-111-104-41-43-142-220-109-4-198-155-12-26-152-147-184-29-16-225-72-159-210-181-164-174-101-176-201-19-89-150-48-106-140-121-31-116-67-196-55-169-138-21-188-227-172...

Et de manière générale en base 41+97n :

[n][17+41n][13+32n][21+51n][22+54n][33+80n][33+79n][16+38n][2+6n][21+52n][40+95n][6+15n][13+33n][38+92n][36+86n][14+34n][15+36n][8+21n][35+85n][38+90n][1+4n][28+67n][13+31n][4+10n][9+22n][12+29n][10+25n][23+55n][10+24n][5+14n][37+89n][25+60n][14+35n][32+77n][22+53n][16+39n][19+47n][35+84n][20+49n][29+69n][6+16n][31+74n][11+27n][16+40n][37+88n][8+19n][1+3n][10+26n]===[40+96n][23+56n][27+65n][19+46n][18+43n][7+17n][7+18n][24+59n][38+91n][19+45n][2n][34+82n][27+64n][2+5n][4+11n][26+63n][25+61n][32+76n][5+12n][2+7n][39+93n][12+30n][27+66n][36+87n][31+75n][28+68n][30+72n][17+42n][30+73n][35+83n][3+8n][15+37n][26+62n][8+20n][18+44n][24+58n][21+50n][5+13n][20+48n][11+28n][34+81n][9+23n][29+70n][24+57n][3+9n][32+78n][39+94n][30+71n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-41-32-51-54-80-79-38-6-52-95-15-33-92-86-34-36-21-85-90-4-67-31-10-22-29-25-55-24-14-89-60-35-77-53-39-47-84-49-69-16-74-27-40-88-19-3-26===96-56-65-46-43-17-18-59-91-45-2-82-64-5-11-63-61-76-12-7-93-30-66-87-75-68-72-42-73-83-8-37-62-20-44-58-50-13-48-28-81-23-70-57-9-78-94-71

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 41 modulo 97 

Calcul de 1/97 en base 71+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 71+97n. La série est alors :

1-71-94-78-9-57-70-23-81-28-48-13-50-58-44-20-62-37-8-83-73-42-72-68-75-87-66-30-93-7-12-76-61-63-11-5-64-82-2-45-91-59-18-17-43-46-65-56===96-26-3-19-88-40-27-74-16-69-49-84-47-39-53-77-35-60-89-14-24-55-25-29-22-10-31-67-4-90-85-21-36-34-86-92-33-15-95-52-6-38-79-80-54-51-32-41

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 41+97n.

Calculons 1/97 en base : 71, 168, 265, ...(71+97n) :

1/97 en base 71 = 0,0-51-68-57-6-41-51-16-59-20-35-9-36-42-32-14-45-27-5-60-53-30-52-49-54-63-48-21-68-5-8-55-44-46-8-3-46-60-1-32-66-43-13-12-31-33-47-40===70-19-2-13-64-29-19-54-11-50-35-61-34-28-38-56-25-43-65-10-17-40-18-21-16-7-22-49-2-65-62-15-26-24-62-67-24-10-69-38-4-27-57-58-39-37-23-30...

1/97 en base 168 = 0,1-122-162-135-15-98-121-39-140-48-83-22-86-100-76-34-107-64-13-143-126-72-124-117-129-150-114-51-161-12-20-131-105-109-19-8-110-142-3-77-157-102-31-29-74-79-112-96===166-45-5-32-152-69-46-128-27-119-84-145-81-67-91-133-60-103-154-24-41-95-43-50-38-17-53-116-6-155-147-36-62-58-148-159-57-25-164-90-10-65-136-138-93-88-55-71...

1/97 en base 265 = 0,2-193-256-213-24-155-191-62-221-76-131-35-136-158-120-54-169-101-21-226-199-114-196-185-204-237-180-81-254-19-32-207-166-172-30-13-174-224-5-122-248-161-49-46-117-125-177-152===262-71-8-51-240-109-73-202-43-188-133-229-128-106-144-210-95-163-243-38-65-150-68-79-60-27-84-183-10-245-232-57-98-92-234-251-90-40-259-142-16-103-215-218-147-139-87-112...

Et de manière générale en base 71+97n :

[n][51+71n][68+94n][57+78n][6+9n][41+57n][51+70n][16+23n][59+81n][20+28n][35+48n][9+13n][36+50n][42+58n][32+44n][14+20n][45+62n][27+37n][5+8n][60+83n][53+73n][30+42n][52+72n][49+68n][54+75n][63+87n][48+66n][21+30n][68+93n][5+7n][8+12n][55+76n][44+61n][46+63n][8+11n][3+5n][46+64n][60+82n][1+2n][32+45n][66+91n][43+59n][13+18n][12+17n][31+43n][33+46n][47+65n][40+56n]===[70+96n][19+26n][2+3n][13+19n][64+88n][29+40n][19+27n][54+74n][11+16n][50+69n][35+49n][61+84n][34+47n][28+39n][38+53n][56+77n][25+35n][43+60n][65+89n][10+14n][17+24n][40+55n][18+25n][21+29n][16+22n][7+10n][22+31n][49+67n][2+4n][65+90n][62+85n][15+21n][26+36n][24+34n][62+86n][67+92n][24+33n][10+15n][69+95n][38+52n][4+6n][27+38n][57+79n][58+80n][39+54n][37+51n][23+32n][30+41n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-71-94-78-9-57-70-23-81-28-48-13-50-58-44-20-62-37-8-83-73-42-72-68-75-87-66-30-93-7-12-76-61-63-11-5-64-82-2-45-91-59-18-17-43-46-65-56===96-26-3-19-88-40-27-74-16-69-49-84-47-39-53-77-35-60-89-14-24-55-25-29-22-10-31-67-4-90-85-21-36-34-86-92-33-15-95-52-6-38-79-80-54-51-32-41

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 71 modulo 97 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 41+97n.

Constatons que 41x71 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97