Calcul de 1/97 en base 57+97n.

Pourquoi les périodes de n/97 en base 57+97n se regroupent elles en cette série ?

1-57-48-20-73-87-12-5-91-46-3-74-47-60-25-67-36-15-79-41-9-28-44-83-75-7-11-45-43-26-27-84-35-55-31-21-33-38-32-78-81-58-8-68-93-63-2-17===96-40-49-77-24-10-85-92-6-51-94-23-50-37-72-30-61-82-18-56-88-69-53-14-22-90-86-52-54-71-70-13-62-42-66-76-64-59-65-19-16-39-89-29-4-34-95-80

Calculons 1/97 en base 57+97n (57, 154, 251, ...) :

1/97 en base 57 = 0,0-33-28-11-42-51-7-2-53-27-1-43-27-35-14-39-21-8-46-24-5-16-25-48-44-4-6-26-25-15-15-49-20-32-18-12-19-22-18-45-47-34-4-39-54-37-1-9===56-23-28-45-14-5-49-54-3-29-55-13-29-21-42-17-35-48-10-32-51-40-31-8-12-52-50-30-31-41-41-7-36-24-38-44-37-34-38-11-9-22-52-17-2-19-55-47...

1/97 en base 154 = 0,1-90-76-31-115-138-19-7-144-73-4-117-74-95-39-106-57-23-125-65-14-44-69-131-119-11-17-71-68-41-42-133-55-87-49-33-52-60-50-123-128-92-12-107-147-100-3-26===152-63-77-122-38-15-134-146-9-80-149-36-79-58-114-47-96-130-28-88-139-109-84-22-34-142-136-82-85-112-111-20-98-66-104-120-101-93-103-30-25-61-141-46-6-53-150-127...

1/97 en base 251 = 0,2-147-124-51-188-225-31-12-235-119-7-191-121-155-64-173-93-38-204-106-23-72-113-214-194-18-28-116-111-67-69-217-90-142-80-54-85-98-82-201-209-150-20-175-240-163-5-43===248-103-126-199-62-25-219-238-15-131-243-59-129-95-186-77-157-212-46-144-227-178-137-36-56-232-222-134-139-183-181-33-160-108-170-196-165-152-168-49-41-100-230-75-10-87-245-207...

Et de manière générale en base 57+97n :

[n][33+57n][28+48n][11+20n][42+73n][51+87n][7+12n][2+5n][53+91n][27+46n][1+3n][43+74n][27+47n][35+60n][14+25n][39+67n][21+36n][8+15n][46+79n][24+41n][5+9n][16+28n][25+44n][48+83n][44+75n][4+7n][6+11n][26+45n][25+43n][15+26n][15+27n][49+84n][20+35n][32+55n][18+31n][12+21n][19+33n][22+38n][18+32n][45+78n][47+81n][34+58n][4+8n][39+68n][54+93n][37+63n][1+2n][9+17n]===[56+96n][23+40n][28+49n][45+77n][14+24n][5+10n][49+85n][54+92n][3+6n][29+51n][55+94n][13+23n][29+50n][21+37n][42+72n][17+30n][35+61n][48+82n][10+18n][32+56n][51+88n][40+69n][31+53n][8+14n][12+22n][52+90n][50+86n][30+52n][31+54n][41+71n][41+70n][7+13n][36+62n][24+42n][38+66n][44+76n][37+64n][34+59n][38+65n][11+19n][9+16n][22+39n][52+89n][17+29n][2+4n][19+34n][55+95n][47+80n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 57 modulo 97

Calcul de 1/97 en base 80+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 80+97n. La série est alors :

1-80-95-34-4-29-89-39-16-19-65-59-64-76-66-42-62-13-70-71-54-52-86-90-22-14-53-69-88-56-18-82-61-30-72-37-50-23-94-51-6-92-85-10-24-77-49-40===96-17-2-63-93-68-8-58-81-78-32-38-33-21-31-55-35-84-27-26-43-45-11-7-75-83-44-28-9-41-79-15-36-67-25-60-47-74-3-46-91-5-12-87-73-20-48-57

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 57+97n.

Calculons 1/97 en base : 80, 177, 274, ...(80+97n) :

1/97 en base 80 = 0,0-65-78-28-3-23-73-32-13-15-53-48-52-62-54-34-51-10-57-58-44-42-70-74-18-11-43-56-72-46-14-67-50-24-59-30-41-18-77-42-4-75-70-8-19-63-40-32===79-14-1-51-76-56-6-47-66-64-26-31-27-17-25-45-28-69-22-21-35-37-9-5-61-68-36-23-7-33-65-12-29-55-20-49-38-61-2-37-75-4-9-71-60-16-39-47...

1/97 en base 177 = 0,1-145-173-62-7-52-162-71-29-34-118-107-116-138-120-76-113-23-127-129-98-94-156-164-40-25-96-125-160-102-32-149-111-54-131-67-91-41-171-93-10-167-155-18-43-140-89-72===175-31-3-114-169-124-14-105-147-142-58-69-60-38-56-100-63-153-49-47-78-82-20-12-136-151-80-51-16-74-144-27-65-122-45-109-85-135-5-83-166-9-21-158-133-36-87-104...

1/97 en base 274 = 0,2-225-268-96-11-81-251-110-45-53-183-166-180-214-186-118-175-36-197-200-152-146-242-254-62-39-149-194-248-158-50-231-172-84-203-104-141-64-265-144-16-259-240-28-67-217-138-112===271-48-5-177-262-192-22-163-228-220-90-107-93-59-87-155-98-237-76-73-121-127-31-19-211-234-124-79-25-115-223-42-101-189-70-169-132-209-8-129-257-14-33-245-206-56-135-161...

Et de manière générale en base 80+97n :

[n][65+80n][78+95n][28+34n][3+4n][23+29n][73+89n][32+39n][13+16n][15+19n][53+65n][48+59n][52+64n][62+76n][54+66n][34+42n][51+62n][10+13n][57+70n][58+71n][44+54n][42+52n][70+86n][74+90n][18+22n][11+14n][43+53n][56+69n][72+88n][46+56n][14+18n][67+82n][50+61n][24+30n][59+72n][30+37n][41+50n][18+23n][77+94n][42+51n][4+6n][75+92n][70+85n][8+10n][19+24n][63+77n][40+49n][32+40n]===[79+96n][14+17n][1+2n][51+63n][76+93n][56+68n][6+8n][47+58n][66+81n][64+78n][26+32n][31+38n][27+33n][17+21n][25+31n][45+55n][28+35n][69+84n][22+27n][21+26n][35+43n][37+45n][9+11n][5+7n][61+75n][68+83n][36+44n][23+28n][7+9n][33+41n][65+79n][12+15n][29+36n][55+67n][20+25n][49+60n][38+47n][61+74n][2+3n][37+46n][75+91n][4+5n][9+12n][71+87n][60+73n][16+20n][39+48n][47+57n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 80 modulo 97

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 57+97n.

Constatons que 57x80 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97