Calcul de 1/97 en base 58+97n.

Pourquoi les périodes de n/97 en base 58+97n se regroupent elles en cette série ?

1-58-66-45-88-60-85-80-81-42-11-56-47-10-95-78-62-7-18-74-24-34-32-13-75-82-3-77-4-38-70-83-61-46-49-29-33-71-44-30-91-40-89-21-54-28-72-5===96-39-31-52-9-37-12-17-16-55-86-41-50-87-2-19-35-90-79-23-73-63-65-84-22-15-94-20-93-59-27-14-36-51-48-68-64-26-53-67-6-57-8-76-43-69-25-92

Calculons 1/97 en base 58+97n (58, 155, 252, ...) :

1/97 en base 58 = 0,0-34-39-26-52-35-50-47-48-25-6-33-28-5-56-46-37-4-10-44-14-20-19-7-44-49-1-46-2-22-41-49-36-27-29-17-19-42-26-17-54-23-53-12-32-16-43-2===57-23-18-31-5-22-7-10-9-32-51-24-29-52-1-11-20-53-47-13-43-37-38-50-13-8-56-11-55-35-16-8-21-30-28-40-38-15-31-40-3-34-4-45-25-41-14-55...

1/97 en base 155 = 0,1-92-105-71-140-95-135-127-129-67-17-89-75-15-151-124-99-11-28-118-38-54-51-20-119-131-4-123-6-60-111-132-97-73-78-46-52-113-70-47-145-63-142-33-86-44-115-7===153-62-49-83-14-59-19-27-25-87-137-65-79-139-3-30-55-143-126-36-116-100-103-134-35-23-150-31-148-94-43-22-57-81-76-108-102-41-84-107-9-91-12-121-68-110-39-147...

1/97 en base 252 = 0,2-150-171-116-228-155-220-207-210-109-28-145-122-25-246-202-161-18-46-192-62-88-83-33-194-213-7-200-10-98-181-215-158-119-127-75-85-184-114-77-236-103-231-54-140-72-187-12===249-101-80-135-23-96-31-44-41-142-223-106-129-226-5-49-90-233-205-59-189-163-168-218-57-38-244-51-241-153-70-36-93-132-124-176-166-67-137-174-15-148-20-197-111-179-64-239...

Et de manière générale en base 58+97n :

[n][34+58n][39+66n][26+45n][52+88n][35+60n][50+85n][47+80n][48+81n][25+42n][6+11n][33+56n][28+47n][5+10n][56+95n][46+78n][37+62n][4+7n][10+18n][44+74n][14+24n][20+34n][19+32n][7+13n][44+75n][49+82n][1+3n][46+77n][2+4n][22+38n][41+70n][49+83n][36+61n][27+46n][29+49n][17+29n][19+33n][42+71n][26+44n][17+30n][54+91n][23+40n][53+89n][12+21n][32+54n][16+28n][43+72n][2+5n]===[57+96n][23+39n][18+31n][31+52n][5+9n][22+37n][7+12n][10+17n][9+16n][32+55n][51+86n][24+41n][29+50n][52+87n][1+2n][11+19n][20+35n][53+90n][47+79n][13+23n][43+73n][37+63n][38+65n][50+84n][13+22n][8+15n][56+94n][11+20n][55+93n][35+59n][16+27n][8+14n][21+36n][30+51n][28+48n][40+68n][38+64n][15+26n][31+53n][40+67n][3+6n][34+57n][4+8n][45+76n][25+43n][41+69n][14+25n][55+92n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 58 modulo 97

Calcul de 1/97 en base 92+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 92+97n. La série est alors :

1-92-25-69-43-76-8-57-6-67-53-26-64-68-48-51-36-14-27-59-93-20-94-15-22-84-65-63-73-23-79-90-35-19-2-87-50-41-86-55-16-17-12-37-9-52-31-39===96-5-72-28-54-21-89-40-91-30-44-71-33-29-49-46-61-83-70-38-4-77-3-82-75-13-32-34-24-74-18-7-62-78-95-10-47-56-11-42-81-80-85-60-88-45-66-58

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 58+97n.

Calculons 1/97 en base : 92, 189, 286, ...(92+97n) :

1/97 en base 92 = 0,0-87-23-65-40-72-7-54-5-63-50-24-60-64-45-48-34-13-25-55-88-18-89-14-20-79-61-59-69-21-74-85-33-18-1-82-47-38-81-52-15-16-11-35-8-49-29-36===91-4-68-26-51-19-84-37-86-28-41-67-31-27-46-43-57-78-66-36-3-73-2-77-71-12-30-32-22-70-17-6-58-73-90-9-44-53-10-39-76-75-80-56-83-42-62-55...

1/97 en base 189 = 0,1-179-48-134-83-148-15-111-11-130-103-50-124-132-93-99-70-27-52-114-181-38-183-29-42-163-126-122-142-44-153-175-68-37-3-169-97-79-167-107-31-33-23-72-17-101-60-75===187-9-140-54-105-40-173-77-177-58-85-138-64-56-95-89-118-161-136-74-7-150-5-159-146-25-62-66-46-144-35-13-120-151-185-19-91-109-21-81-157-155-165-116-171-87-128-113...

1/97 en base 286 = 0,2-271-73-203-126-224-23-168-17-197-156-76-188-200-141-150-106-41-79-173-274-58-277-44-64-247-191-185-215-67-232-265-103-56-5-256-147-120-253-162-47-50-35-109-26-153-91-114===283-14-212-82-159-61-262-117-268-88-129-209-97-85-144-135-179-244-206-112-11-227-8-241-221-38-94-100-70-218-53-20-182-229-280-29-138-165-32-123-238-235-250-176-259-132-194-171...

Et de manière générale en base 92+97n :

[n][87+92n][23+25n][65+69n][40+43n][72+76n][7+8n][54+57n][5+6n][63+67n][50+53n][24+26n][60+64n][64+68n][45+48n][48+51n][34+36n][13+14n][25+27n][55+59n][88+93n][18+20n][89+94n][14+15n][20+22n][79+84n][61+65n][59+63n][69+73n][21+23n][74+79n][85+90n][33+35n][18+19n][1+2n][82+87n][47+50n][38+41n][81+86n][52+55n][15+16n][16+17n][11+12n][35+37n][8+9n][49+52n][29+31n][36+39n]===[91+96n][4+5n][68+72n][26+28n][51+54n][19+21n][84+89n][37+40n][86+91n][28+30n][41+44n][67+71n][31+33n][27+29n][46+49n][43+46n][57+61n][78+83n][66+70n][36+38n][3+4n][73+77n][2+3n][77+82n][71+75n][12+13n][30+32n][32+34n][22+24n][70+74n][17+18n][6+7n][58+62n][73+78n][90+95n][9+10n][44+47n][53+56n][10+11n][39+42n][76+81n][75+80n][80+85n][56+60n][83+88n][42+45n][62+66n][55+58n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 92 modulo 97

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 58+97n.

Constatons que 58x92 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97