Calcul de 1/97 en base 59+97n.

Pourquoi les périodes de n/97 en base 59+97n se regroupent elles en cette série ?

1-59-86-30-24-58-27-41-91-34-66-14-50-40-32-45-36-87-89-13-88-51-2-21-75-60-48-19-54-82-85-68-35-28-3-80-64-90-72-77-81-26-79-5-4-42-53-23===96-38-11-67-73-39-70-56-6-63-31-83-47-57-65-52-61-10-8-84-9-46-95-76-22-37-49-78-43-15-12-29-62-69-94-17-33-7-25-20-16-71-18-92-93-55-44-74

Calculons 1/97 en base 59+97n (59, 156, 253, ...) :

1/97 en base 59 = 0,0-35-52-18-14-35-16-24-55-20-40-8-30-24-19-27-21-52-54-7-53-31-1-12-45-36-29-11-32-49-51-41-21-17-1-48-38-54-43-46-49-15-48-3-2-25-32-13===58-23-6-40-44-23-42-34-3-38-18-50-28-34-39-31-37-6-4-51-5-27-57-46-13-22-29-47-26-9-7-17-37-41-57-10-20-4-15-12-9-43-10-55-56-33-26-45...

1/97 en base 156 = 0,1-94-138-48-38-93-43-65-146-54-106-22-80-64-51-72-57-139-143-20-141-82-3-33-120-96-77-30-86-131-136-109-56-45-4-128-102-144-115-123-130-41-127-8-6-67-85-36===154-61-17-107-117-62-112-90-9-101-49-133-75-91-104-83-98-16-12-135-14-73-152-122-35-59-78-125-69-24-19-46-99-110-151-27-53-11-40-32-25-114-28-147-149-88-70-119...

1/97 en base 253 = 0,2-153-224-78-62-151-70-106-237-88-172-36-130-104-83-117-93-226-232-33-229-133-5-54-195-156-125-49-140-213-221-177-91-73-7-208-166-234-187-200-211-67-206-13-10-109-138-59===250-99-28-174-190-101-182-146-15-164-80-216-122-148-169-135-159-26-20-219-23-119-247-198-57-96-127-203-112-39-31-75-161-179-245-44-86-18-65-52-41-185-46-239-242-143-114-193...

Et de manière générale en base 59+97n :

[n][35+59n][52+86n][18+30n][14+24n][35+58n][16+27n][24+41n][55+91n][20+34n][40+66n][8+14n][30+50n][24+40n][19+32n][27+45n][21+36n][52+87n][54+89n][7+13n][53+88n][31+51n][1+2n][12+21n][45+75n][36+60n][29+48n][11+19n][32+54n][49+82n][51+85n][41+68n][21+35n][17+28n][1+3n][48+80n][38+64n][54+90n][43+72n][46+77n][49+81n][15+26n][48+79n][3+5n][2+4n][25+42n][32+53n][13+23n]===[58+96n][23+38n][6+11n][40+67n][44+73n][23+39n][42+70n][34+56n][3+6n][38+63n][18+31n][50+83n][28+47n][34+57n][39+65n][31+52n][37+61n][6+10n][4+8n][51+84n][5+9n][27+46n][57+95n][46+76n][13+22n][22+37n][29+49n][47+78n][26+43n][9+15n][7+12n][17+29n][37+62n][41+69n][57+94n][10+17n][20+33n][4+7n][15+25n][12+20n][9+16n][43+71n][10+18n][55+92n][56+93n][33+55n][26+44n][45+74n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 59 modulo 97

Calcul de 1/97 en base 74+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 74+97n. La série est alors :

1-74-44-55-93-92-18-71-16-20-25-7-33-17-94-69-62-29-12-15-43-78-49-37-22-76-95-46-9-84-8-10-61-52-65-57-47-83-31-63-6-56-70-39-73-67-11-38===96-23-53-42-4-5-79-26-81-77-72-90-64-80-3-28-35-68-85-82-54-19-48-60-75-21-2-51-88-13-89-87-36-45-32-40-50-14-66-34-91-41-27-58-24-30-86-59

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 59+97n.

Calculons 1/97 en base : 74, 171, 268, ...(74+97n) :

1/97 en base 74 = 0,0-56-33-41-70-70-13-54-12-15-19-5-25-12-71-52-47-22-9-11-32-59-37-28-16-57-72-35-6-64-6-7-46-39-49-43-35-63-23-48-4-42-53-29-55-51-8-28===73-17-40-32-3-3-60-19-61-58-54-68-48-61-2-21-26-51-64-62-41-14-36-45-57-16-1-38-67-9-67-66-27-34-24-30-38-10-50-25-69-31-20-44-18-22-65-45...

1/97 en base 171 = 0,1-130-77-96-163-162-31-125-28-35-44-12-58-29-165-121-109-51-21-26-75-137-86-65-38-133-167-81-15-148-14-17-107-91-114-100-82-146-54-111-10-98-123-68-128-118-19-66===169-40-93-74-7-8-139-45-142-135-126-158-112-141-5-49-61-119-149-144-95-33-84-105-132-37-3-89-155-22-156-153-63-79-56-70-88-24-116-59-160-72-47-102-42-52-151-104...

1/97 en base 268 = 0,2-204-121-151-256-254-49-196-44-55-69-19-91-46-259-190-171-80-33-41-118-215-135-102-60-209-262-127-24-232-22-27-168-143-179-157-129-229-85-174-16-154-193-107-201-185-30-104===265-63-146-116-11-13-218-71-223-212-198-248-176-221-8-77-96-187-234-226-149-52-132-165-207-58-5-140-243-35-245-240-99-124-88-110-138-38-182-93-251-113-74-160-66-82-237-163...

Et de manière générale en base 74+97n :

[n][56+74n][33+44n][41+55n][70+93n][70+92n][13+18n][54+71n][12+16n][15+20n][19+25n][5+7n][25+33n][12+17n][71+94n][52+69n][47+62n][22+29n][9+12n][11+15n][32+43n][59+78n][37+49n][28+37n][16+22n][57+76n][72+95n][35+46n][6+9n][64+84n][6+8n][7+10n][46+61n][39+52n][49+65n][43+57n][35+47n][63+83n][23+31n][48+63n][4+6n][42+56n][53+70n][29+39n][55+73n][51+67n][8+11n][28+38n]===[73+96n][17+23n][40+53n][32+42n][3+4n][3+5n][60+79n][19+26n][61+81n][58+77n][54+72n][68+90n][48+64n][61+80n][2+3n][21+28n][26+35n][51+68n][64+85n][62+82n][41+54n][14+19n][36+48n][45+60n][57+75n][16+21n][1+2n][38+51n][67+88n][9+13n][67+89n][66+87n][27+36n][34+45n][24+32n][30+40n][38+50n][10+14n][50+66n][25+34n][69+91n][31+41n][20+27n][44+58n][18+24n][22+30n][65+86n][45+59n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 74 modulo 97

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 59+97n.

Constatons que 59x74 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97