Calcul de 1/97 en base 60+97n.

Pourquoi les périodes de n/97 en base 60+97n se regroupent elles en cette série ?

1-60-11-78-24-82-70-29-91-28-31-17-50-90-65-20-36-26-8-92-88-42-95-74-75-38-49-30-54-39-12-41-35-63-94-14-64-57-25-45-81-10-18-13-4-46-44-21===96-37-86-19-73-15-27-68-6-69-66-80-47-7-32-77-61-71-89-5-9-55-2-23-22-59-48-67-43-58-85-56-62-34-3-83-33-40-72-52-16-87-79-84-93-51-53-76

Calculons 1/97 en base 60+97n (60, 157, 254, ...) :

1/97 en base 60 = 0,0-37-6-48-14-50-43-17-56-17-19-10-30-55-40-12-22-16-4-56-54-25-58-45-46-23-30-18-33-24-7-25-21-38-58-8-39-35-15-27-50-6-11-8-2-28-27-12===59-22-53-11-45-9-16-42-3-42-40-49-29-4-19-47-37-43-55-3-5-34-1-14-13-36-29-41-26-35-52-34-38-21-1-51-20-24-44-32-9-53-48-51-57-31-32-47...

1/97 en base 157 = 0,1-97-17-126-38-132-113-46-147-45-50-27-80-145-105-32-58-42-12-148-142-67-153-119-121-61-79-48-87-63-19-66-56-101-152-22-103-92-40-72-131-16-29-21-6-74-71-33===155-59-139-30-118-24-43-110-9-111-106-129-76-11-51-124-98-114-144-8-14-89-3-37-35-95-77-108-69-93-137-90-100-55-4-134-53-64-116-84-25-140-127-135-150-82-85-123...

1/97 en base 254 = 0,2-157-28-204-62-214-183-75-238-73-81-44-130-235-170-52-94-68-20-240-230-109-248-193-196-99-128-78-141-102-31-107-91-164-246-36-167-149-65-117-212-26-47-34-10-120-115-54===251-96-225-49-191-39-70-178-15-180-172-209-123-18-83-201-159-185-233-13-23-144-5-60-57-154-125-175-112-151-222-146-162-89-7-217-86-104-188-136-41-227-206-219-243-133-138-199...

Et de manière générale en base 60+97n :

[n][37+60n][6+11n][48+78n][14+24n][50+82n][43+70n][17+29n][56+91n][17+28n][19+31n][10+17n][30+50n][55+90n][40+65n][12+20n][22+36n][16+26n][4+8n][56+92n][54+88n][25+42n][58+95n][45+74n][46+75n][23+38n][30+49n][18+30n][33+54n][24+39n][7+12n][25+41n][21+35n][38+63n][58+94n][8+14n][39+64n][35+57n][15+25n][27+45n][50+81n][6+10n][11+18n][8+13n][2+4n][28+46n][27+44n][12+21n]===[59+96n][22+37n][53+86n][11+19n][45+73n][9+15n][16+27n][42+68n][3+6n][42+69n][40+66n][49+80n][29+47n][4+7n][19+32n][47+77n][37+61n][43+71n][55+89n][3+5n][5+9n][34+55n][1+2n][14+23n][13+22n][36+59n][29+48n][41+67n][26+43n][35+58n][52+85n][34+56n][38+62n][21+34n][1+3n][51+83n][20+33n][24+40n][44+72n][32+52n][9+16n][53+87n][48+79n][51+84n][57+93n][31+51n][32+53n][47+76n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 60 modulo 97

Calcul de 1/97 en base 76+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 76+97n. La série est alors :

1-76-53-51-93-84-79-87-16-52-72-40-33-83-3-34-62-56-85-58-43-67-48-59-22-23-2-55-9-5-89-71-61-77-32-7-47-80-66-69-6-68-27-15-73-19-86-37===96-21-44-46-4-13-18-10-81-45-25-57-64-14-94-63-35-41-12-39-54-30-49-38-75-74-95-42-88-92-8-26-36-20-65-90-50-17-31-28-91-29-70-82-24-78-11-60

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 60+97n.

Calculons 1/97 en base : 76, 173, 270, ...(76+97n) :

1/97 en base 76 = 0,0-59-41-39-72-65-61-68-12-40-56-31-25-65-2-26-48-43-66-45-33-52-37-46-17-18-1-43-7-3-69-55-47-60-25-5-36-62-51-54-4-53-21-11-57-14-67-28===75-16-34-36-3-10-14-7-63-35-19-44-50-10-73-49-27-32-9-30-42-23-38-29-58-57-74-32-68-72-6-20-28-15-50-70-39-13-24-21-71-22-54-64-18-61-8-47...

1/97 en base 173 = 0,1-135-94-90-165-149-140-155-28-92-128-71-58-148-5-60-110-99-151-103-76-119-85-105-39-41-3-98-16-8-158-126-108-137-57-12-83-142-117-123-10-121-48-26-130-33-153-65===171-37-78-82-7-23-32-17-144-80-44-101-114-24-167-112-62-73-21-69-96-53-87-67-133-131-169-74-156-164-14-46-64-35-115-160-89-30-55-49-162-51-124-146-42-139-19-107...

1/97 en base 270 = 0,2-211-147-141-258-233-219-242-44-144-200-111-91-231-8-94-172-155-236-161-119-186-133-164-61-64-5-153-25-13-247-197-169-214-89-19-130-222-183-192-16-189-75-41-203-52-239-102===267-58-122-128-11-36-50-27-225-125-69-158-178-38-261-175-97-114-33-108-150-83-136-105-208-205-264-116-244-256-22-72-100-55-180-250-139-47-86-77-253-80-194-228-66-217-30-167...

Et de manière générale en base 76+97n :

[n][59+76n][41+53n][39+51n][72+93n][65+84n][61+79n][68+87n][12+16n][40+52n][56+72n][31+40n][25+33n][65+83n][2+3n][26+34n][48+62n][43+56n][66+85n][45+58n][33+43n][52+67n][37+48n][46+59n][17+22n][18+23n][1+2n][43+55n][7+9n][3+5n][69+89n][55+71n][47+61n][60+77n][25+32n][5+7n][36+47n][62+80n][51+66n][54+69n][4+6n][53+68n][21+27n][11+15n][57+73n][14+19n][67+86n][28+37n]===[75+96n][16+21n][34+44n][36+46n][3+4n][10+13n][14+18n][7+10n][63+81n][35+45n][19+25n][44+57n][50+64n][10+14n][73+94n][49+63n][27+35n][32+41n][9+12n][30+39n][42+54n][23+30n][38+49n][29+38n][58+75n][57+74n][74+95n][32+42n][68+88n][72+92n][6+8n][20+26n][28+36n][15+20n][50+65n][70+90n][39+50n][13+17n][24+31n][21+28n][71+91n][22+29n][54+70n][64+82n][18+24n][61+78n][8+11n][47+60n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 76 modulo 97

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 60+97n.

Constatons que 60x76 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97