Pourquoi les périodes de n/97 en base 82+97n se regroupent elles en cette série ?

1-82-31-20-88-38-12-14-81-46-86-68-47-71-2-67-62-40-79-76-24-28-65-92-75-39-94-45-4-37-27-80-61-55-48-56-33-87-53-78-91-90-8-74-54-63-25-13===96-15-66-77-9-59-85-83-16-51-11-29-50-26-95-30-35-57-18-21-73-69-32-5-22-58-3-52-93-60-70-17-36-42-49-41-64-10-44-19-6-7-89-23-43-34-72-84

Calculons 1/97 en base 82+97n (82, 179, 276, ...) :

1/97 en base 82 = 0,0-69-26-16-74-32-10-11-68-38-72-57-39-60-1-56-52-33-66-64-20-23-54-77-63-32-79-38-3-31-22-67-51-46-40-47-27-73-44-65-76-76-6-62-45-53-21-10===81-12-55-65-7-49-71-70-13-43-9-24-42-21-80-25-29-48-15-17-61-58-27-4-18-49-2-43-78-50-59-14-30-35-41-34-54-8-37-16-5-5-75-19-36-28-60-71...

1/97 en base 179 = 0,1-151-57-36-162-70-22-25-149-84-158-125-86-131-3-123-114-73-145-140-44-51-119-169-138-71-173-83-7-68-49-147-112-101-88-103-60-160-97-143-167-166-14-136-99-116-46-23===177-27-121-142-16-108-156-153-29-94-20-53-92-47-175-55-64-105-33-38-134-127-59-9-40-107-5-95-171-110-129-31-66-77-90-75-118-18-81-35-11-12-164-42-79-62-132-155...

1/97 en base 276 = 0,2-233-88-56-250-108-34-39-230-130-244-193-133-202-5-190-176-113-224-216-68-79-184-261-213-110-267-128-11-105-76-227-173-156-136-159-93-247-150-221-258-256-22-210-153-179-71-36===273-42-187-219-25-167-241-236-45-145-31-82-142-73-270-85-99-162-51-59-207-196-91-14-62-165-8-147-264-170-199-48-102-119-139-116-182-28-125-54-17-19-253-65-122-96-204-239...

Et de manière générale en base 82+97n :

[n][69+82n][26+31n][16+20n][74+88n][32+38n][10+12n][11+14n][68+81n][38+46n][72+86n][57+68n][39+47n][60+71n][1+2n][56+67n][52+62n][33+40n][66+79n][64+76n][20+24n][23+28n][54+65n][77+92n][63+75n][32+39n][79+94n][38+45n][3+4n][31+37n][22+27n][67+80n][51+61n][46+55n][40+48n][47+56n][27+33n][73+87n][44+53n][65+78n][76+91n][76+90n][6+8n][62+74n][45+54n][53+63n][21+25n][10+13n]===[81+96n][12+15n][55+66n][65+77n][7+9n][49+59n][71+85n][70+83n][13+16n][43+51n][9+11n][24+29n][42+50n][21+26n][80+95n][25+30n][29+35n][48+57n][15+18n][17+21n][61+73n][58+69n][27+32n][4+5n][18+22n][49+58n][2+3n][43+52n][78+93n][50+60n][59+70n][14+17n][30+36n][35+42n][41+49n][34+41n][54+64n][8+10n][37+44n][16+19n][5+6n][5+7n][75+89n][19+23n][36+43n][28+34n][60+72n][71+84n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-82-31-20-88-38-12-14-81-46-86-68-47-71-2-67-62-40-79-76-24-28-65-92-75-39-94-45-4-37-27-80-61-55-48-56-33-87-53-78-91-90-8-74-54-63-25-13===96-15-66-77-9-59-85-83-16-51-11-29-50-26-95-30-35-57-18-21-73-69-32-5-22-58-3-52-93-60-70-17-36-42-49-41-64-10-44-19-6-7-89-23-43-34-72-84

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 82 modulo 97 

Calcul de 1/97 en base 84+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 84+97n. La série est alors :

1-84-72-34-43-23-89-7-6-19-44-10-64-41-49-42-36-17-70-60-93-52-3-58-22-5-32-69-73-21-18-57-35-30-95-26-50-29-11-51-16-83-85-59-9-77-66-15===96-13-25-63-54-74-8-90-91-78-53-87-33-56-48-55-61-80-27-37-4-45-94-39-75-92-65-28-24-76-79-40-62-67-2-71-47-68-86-46-81-14-12-38-88-20-31-82

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 82+97n.

Calculons 1/97 en base : 84, 181, 278, ...(84+97n) :

1/97 en base 84 = 0,0-72-62-29-37-19-77-6-5-16-38-8-55-35-42-36-31-14-60-51-80-45-2-50-19-4-27-59-63-18-15-49-30-25-82-22-43-25-9-44-13-71-73-51-7-66-57-12===83-11-21-54-46-64-6-77-78-67-45-75-28-48-41-47-52-69-23-32-3-38-81-33-64-79-56-24-20-65-68-34-53-58-1-61-40-58-74-39-70-12-10-32-76-17-26-71...

1/97 en base 181 = 0,1-156-134-63-80-42-166-13-11-35-82-18-119-76-91-78-67-31-130-111-173-97-5-108-41-9-59-128-136-39-33-106-65-55-177-48-93-54-20-95-29-154-158-110-16-143-123-27===179-24-46-117-100-138-14-167-169-145-98-162-61-104-89-102-113-149-50-69-7-83-175-72-139-171-121-52-44-141-147-74-115-125-3-132-87-126-160-85-151-26-22-70-164-37-57-153...

1/97 en base 278 = 0,2-240-206-97-123-65-255-20-17-54-126-28-183-117-140-120-103-48-200-171-266-149-8-166-63-14-91-197-209-60-51-163-100-85-272-74-143-83-31-146-45-237-243-169-25-220-189-42===275-37-71-180-154-212-22-257-260-223-151-249-94-160-137-157-174-229-77-106-11-128-269-111-214-263-186-80-68-217-226-114-177-192-5-203-134-194-246-131-232-40-34-108-252-57-88-235...

Et de manière générale en base 84+97n :

[n][72+84n][62+72n][29+34n][37+43n][19+23n][77+89n][6+7n][5+6n][16+19n][38+44n][8+10n][55+64n][35+41n][42+49n][36+42n][31+36n][14+17n][60+70n][51+60n][80+93n][45+52n][2+3n][50+58n][19+22n][4+5n][27+32n][59+69n][63+73n][18+21n][15+18n][49+57n][30+35n][25+30n][82+95n][22+26n][43+50n][25+29n][9+11n][44+51n][13+16n][71+83n][73+85n][51+59n][7+9n][66+77n][57+66n][12+15n]===[83+96n][11+13n][21+25n][54+63n][46+54n][64+74n][6+8n][77+90n][78+91n][67+78n][45+53n][75+87n][28+33n][48+56n][41+48n][47+55n][52+61n][69+80n][23+27n][32+37n][3+4n][38+45n][81+94n][33+39n][64+75n][79+92n][56+65n][24+28n][20+24n][65+76n][68+79n][34+40n][53+62n][58+67n][1+2n][61+71n][40+47n][58+68n][74+86n][39+46n][70+81n][12+14n][10+12n][32+38n][76+88n][17+20n][26+31n][71+82n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-84-72-34-43-23-89-7-6-19-44-10-64-41-49-42-36-17-70-60-93-52-3-58-22-5-32-69-73-21-18-57-35-30-95-26-50-29-11-51-16-83-85-59-9-77-66-15===96-13-25-63-54-74-8-90-91-78-53-87-33-56-48-55-61-80-27-37-4-45-94-39-75-92-65-28-24-76-79-40-62-67-2-71-47-68-86-46-81-14-12-38-88-20-31-82

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 84 modulo 97 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 82+97n.

Constatons que 82x84 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97