Calcul de 1/97 en base 83+97n.

Pourquoi les périodes de n/97 en base 83+97n se regroupent elles en cette série ?

1-83-2-69-4-41-8-82-16-67-32-37-64-74-31-51-62-5-27-10-54-20-11-40-22-80-44-63-88-29-79-58-61-19-25-38-50-76-3-55-6-13-12-26-24-52-48-7===96-14-95-28-93-56-89-15-81-30-65-60-33-23-66-46-35-92-70-87-43-77-86-57-75-17-53-34-9-68-18-39-36-78-72-59-47-21-94-42-91-84-85-71-73-45-49-90

Calculons 1/97 en base 83+97n (83, 180, 277, ...) :

1/97 en base 83 = 0,0-71-1-59-3-35-6-70-13-57-27-31-54-63-26-43-53-4-23-8-46-17-9-34-18-68-37-53-75-24-67-49-52-16-21-32-42-65-2-47-5-11-10-22-20-44-41-5===82-11-81-23-79-47-76-12-69-25-55-51-28-19-56-39-29-78-59-74-36-65-73-48-64-14-45-29-7-58-15-33-30-66-61-50-40-17-80-35-77-71-72-60-62-38-41-77...

1/97 en base 180 = 0,1-154-3-128-7-76-14-152-29-124-59-68-118-137-57-94-115-9-50-18-100-37-20-74-40-148-81-116-163-53-146-107-113-35-46-70-92-141-5-102-11-24-22-48-44-96-89-12===178-25-176-51-172-103-165-27-150-55-120-111-61-42-122-85-64-170-129-161-79-142-159-105-139-31-98-63-16-126-33-72-66-144-133-109-87-38-174-77-168-155-157-131-135-83-90-167...

1/97 en base 277 = 0,2-237-5-197-11-117-22-234-45-191-91-105-182-211-88-145-177-14-77-28-154-57-31-114-62-228-125-179-251-82-225-165-174-54-71-108-142-217-8-157-17-37-34-74-68-148-137-19===274-39-271-79-265-159-254-42-231-85-185-171-94-65-188-131-99-262-199-248-122-219-245-162-214-48-151-97-25-194-51-111-102-222-205-168-134-59-268-119-259-239-242-202-208-128-139-257...

Et de manière générale en base 83+97n :

[n][71+83n][1+2n][59+69n][3+4n][35+41n][6+8n][70+82n][13+16n][57+67n][27+32n][31+37n][54+64n][63+74n][26+31n][43+51n][53+62n][4+5n][23+27n][8+10n][46+54n][17+20n][9+11n][34+40n][18+22n][68+80n][37+44n][53+63n][75+88n][24+29n][67+79n][49+58n][52+61n][16+19n][21+25n][32+38n][42+50n][65+76n][2+3n][47+55n][5+6n][11+13n][10+12n][22+26n][20+24n][44+52n][41+48n][5+7n]===[82+96n][11+14n][81+95n][23+28n][79+93n][47+56n][76+89n][12+15n][69+81n][25+30n][55+65n][51+60n][28+33n][19+23n][56+66n][39+46n][29+35n][78+92n][59+70n][74+87n][36+43n][65+77n][73+86n][48+57n][64+75n][14+17n][45+53n][29+34n][7+9n][58+68n][15+18n][33+39n][30+36n][66+78n][61+72n][50+59n][40+47n][17+21n][80+94n][35+42n][77+91n][71+84n][72+85n][60+71n][62+73n][38+45n][41+49n][77+90n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 83 modulo 97

Calcul de 1/97 en base 90+97n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 90+97n. La série est alors :

1-90-49-45-73-71-85-84-91-42-94-21-47-59-72-78-36-39-18-68-9-34-53-17-75-57-86-77-43-87-70-92-35-46-66-23-33-60-65-30-81-15-89-56-93-28-95-14===96-7-48-52-24-26-12-13-6-55-3-76-50-38-25-19-61-58-79-29-88-63-44-80-22-40-11-20-54-10-27-5-62-51-31-74-64-37-32-67-16-82-8-41-4-69-2-83

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 83+97n.

Calculons 1/97 en base : 90, 187, 284, ...(90+97n) :

1/97 en base 90 = 0,0-83-45-41-67-65-78-77-84-38-87-19-43-54-66-72-33-36-16-63-8-31-49-15-69-52-79-71-39-80-64-85-32-42-61-21-30-55-60-27-75-13-82-51-86-25-88-12===89-6-44-48-22-24-11-12-5-51-2-70-46-35-23-17-56-53-73-26-81-58-40-74-20-37-10-18-50-9-25-4-57-47-28-68-59-34-29-62-14-76-7-38-3-64-1-77...

1/97 en base 187 = 0,1-173-94-86-140-136-163-161-175-80-181-40-90-113-138-150-69-75-34-131-17-65-102-32-144-109-165-148-82-167-134-177-67-88-127-44-63-115-125-57-156-28-171-107-179-53-183-26===185-13-92-100-46-50-23-25-11-106-5-146-96-73-48-36-117-111-152-55-169-121-84-154-42-77-21-38-104-19-52-9-119-98-59-142-123-71-61-129-30-158-15-79-7-133-3-160...

1/97 en base 284 = 0,2-263-143-131-213-207-248-245-266-122-275-61-137-172-210-228-105-114-52-199-26-99-155-49-219-166-251-225-125-254-204-269-102-134-193-67-96-175-190-87-237-43-260-163-272-81-278-40===281-20-140-152-70-76-35-38-17-161-8-222-146-111-73-55-178-169-231-84-257-184-128-234-64-117-32-58-158-29-79-14-181-149-90-216-187-108-93-196-46-240-23-120-11-202-5-243...

Et de manière générale en base 90+97n :

[n][83+90n][45+49n][41+45n][67+73n][65+71n][78+85n][77+84n][84+91n][38+42n][87+94n][19+21n][43+47n][54+59n][66+72n][72+78n][33+36n][36+39n][16+18n][63+68n][8+9n][31+34n][49+53n][15+17n][69+75n][52+57n][79+86n][71+77n][39+43n][80+87n][64+70n][85+92n][32+35n][42+46n][61+66n][21+23n][30+33n][55+60n][60+65n][27+30n][75+81n][13+15n][82+89n][51+56n][86+93n][25+28n][88+95n][12+14n]===[89+96n][6+7n][44+48n][48+52n][22+24n][24+26n][11+12n][12+13n][5+6n][51+55n][2+3n][70+76n][46+50n][35+38n][23+25n][17+19n][56+61n][53+58n][73+79n][26+29n][81+88n][58+63n][40+44n][74+80n][20+22n][37+40n][10+11n][18+20n][50+54n][9+10n][25+27n][4+5n][57+62n][47+51n][28+31n][68+74n][59+64n][34+37n][29+32n][62+67n][14+16n][76+82n][7+8n][38+41n][3+4n][64+69n][1+2n][77+83n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 97 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 90 modulo 97

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 83+97n.

Constatons que 83x90 admet 1 pour reste dans la division par 97 et qu'ils sont alors inverses dans Z97