Calcul de 1/101 en base 2+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 2+101n se regroupent elles en cette série ?

1-2-4-8-16-32-64-27-54-7-14-28-56-11-22-44-88-75-49-98-95-89-77-53-5-10-20-40-80-59-17-34-68-35-70-39-78-55-9-18-36-72-43-86-71-41-82-63-25-50===100-99-97-93-85-69-37-74-47-94-87-73-45-90-79-57-13-26-52-3-6-12-24-48-96-91-81-61-21-42-84-67-33-66-31-62-23-46-92-83-65-29-58-15-30-60-19-38-76-51

Calculons 1/101 en base 2+101n (2, 103, 204, ...) :

1/101 en base 2 = 0,00000010100010001101111100001100101011000101101100===11111101011101110010000011110011010100111010010011...

1/101 en base 103 = 0,1-2-4-8-16-32-65-27-55-7-14-28-57-11-22-44-89-76-49-99-96-90-78-54-5-10-20-40-81-60-17-34-69-35-71-39-79-56-9-18-36-73-43-87-72-41-83-64-25-50===101-100-98-94-86-70-37-75-47-95-88-74-45-91-80-58-13-26-53-3-6-12-24-48-97-92-82-62-21-42-85-68-33-67-31-63-23-46-93-84-66-29-59-15-30-61-19-38-77-52...

1/101 en base 204 = 0,2-4-8-16-32-64-129-54-109-14-28-56-113-22-44-88-177-151-98-197-191-179-155-107-10-20-40-80-161-119-34-68-137-70-141-78-157-111-18-36-72-145-86-173-143-82-165-127-50-100===201-199-195-187-171-139-74-149-94-189-175-147-90-181-159-115-26-52-105-6-12-24-48-96-193-183-163-123-42-84-169-135-66-133-62-125-46-92-185-167-131-58-117-30-60-121-38-76-153-103...

Et de manière générale en base 2+101n :

[n][2n][4n][8n][16n][32n][1+64n][27n][1+54n][7n][14n][28n][1+56n][11n][22n][44n][1+88n][1+75n][49n][1+98n][1+95n][1+89n][1+77n][1+53n][5n][10n][20n][40n][1+80n][1+59n][17n][34n][1+68n][35n][1+70n][39n][1+78n][1+55n][9n][18n][36n][1+72n][43n][1+86n][1+71n][41n][1+82n][1+63n][25n][50n]===[1+100n][1+99n][1+97n][1+93n][1+85n][1+69n][37n][1+74n][47n][1+94n][1+87n][1+73n][45n][1+90n][1+79n][1+57n][13n][26n][1+52n][3n][6n][12n][24n][48n][1+96n][1+91n][1+81n][1+61n][21n][42n][1+84n][1+67n][33n][1+66n][31n][1+62n][23n][46n][1+92n][1+83n][1+65n][29n][1+58n][15n][30n][1+60n][19n][38n][1+76n][1+51n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 2 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 51+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 51+101n. La série est alors :

1-51-76-38-19-60-30-15-58-29-65-83-92-46-23-62-31-66-33-67-84-42-21-61-81-91-96-48-24-12-6-3-52-26-13-57-79-90-45-73-87-94-47-74-37-69-85-93-97-99===100-50-25-63-82-41-71-86-43-72-36-18-9-55-78-39-70-35-68-34-17-59-80-40-20-10-5-53-77-89-95-98-49-75-88-44-22-11-56-28-14-7-54-27-64-32-16-8-4-2

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+101n.

Calculons 1/101 en base : 51, 152, 253, ...(51+101n) :

1/101 en base 51 = 0,0-25-38-19-9-30-15-7-29-14-32-41-46-23-11-31-15-33-16-33-42-21-10-30-40-45-48-24-12-6-3-1-26-13-6-28-39-45-22-36-43-47-23-37-18-34-42-46-48-49===50-25-12-31-41-20-35-43-21-36-18-9-4-27-39-19-35-17-34-17-8-29-40-20-10-5-2-26-38-44-47-49-24-37-44-22-11-5-28-14-7-3-27-13-32-16-8-4-2-1...

1/101 en base 152 = 0,1-76-114-57-28-90-45-22-87-43-97-124-138-69-34-93-46-99-49-100-126-63-31-91-121-136-144-72-36-18-9-4-78-39-19-85-118-135-67-109-130-141-70-111-55-103-127-139-145-148===150-75-37-94-123-61-106-129-64-108-54-27-13-82-117-58-105-52-102-51-25-88-120-60-30-15-7-79-115-133-142-147-73-112-132-66-33-16-84-42-21-10-81-40-96-48-24-12-6-3...

1/101 en base 253 = 0,2-127-190-95-47-150-75-37-145-72-162-207-230-115-57-155-77-165-82-167-210-105-52-152-202-227-240-120-60-30-15-7-130-65-32-142-197-225-112-182-217-235-117-185-92-172-212-232-242-247===250-125-62-157-205-102-177-215-107-180-90-45-22-137-195-97-175-87-170-85-42-147-200-100-50-25-12-132-192-222-237-245-122-187-220-110-55-27-140-70-35-17-135-67-160-80-40-20-10-5...

Et de manière générale en base 51+101n :

[n][25+51n][38+76n][19+38n][9+19n][30+60n][15+30n][7+15n][29+58n][14+29n][32+65n][41+83n][46+92n][23+46n][11+23n][31+62n][15+31n][33+66n][16+33n][33+67n][42+84n][21+42n][10+21n][30+61n][40+81n][45+91n][48+96n][24+48n][12+24n][6+12n][3+6n][1+3n][26+52n][13+26n][6+13n][28+57n][39+79n][45+90n][22+45n][36+73n][43+87n][47+94n][23+47n][37+74n][18+37n][34+69n][42+85n][46+93n][48+97n][49+99n]===[50+100n][25+50n][12+25n][31+63n][41+82n][20+41n][35+71n][43+86n][21+43n][36+72n][18+36n][9+18n][4+9n][27+55n][39+78n][19+39n][35+70n][17+35n][34+68n][17+34n][8+17n][29+59n][40+80n][20+40n][10+20n][5+10n][2+5n][26+53n][38+77n][44+89n][47+95n][49+98n][24+49n][37+75n][44+88n][22+44n][11+22n][5+11n][28+56n][14+28n][7+14n][3+7n][27+54n][13+27n][32+64n][16+32n][8+16n][4+8n][2+4n][1+2n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 51 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+101n.

Constatons que 2x51 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101