Calcul de 1/101 en base 3+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 3+101n se regroupent elles en cette série ?

1-3-9-27-81-41-22-66-97-89-65-94-80-38-13-39-16-48-43-28-84-50-49-46-37-10-30-90-68-2-6-18-54-61-82-44-31-93-77-29-87-59-76-26-78-32-96-86-56-67===100-98-92-74-20-60-79-35-4-12-36-7-21-63-88-62-85-53-58-73-17-51-52-55-64-91-71-11-33-99-95-83-47-40-19-57-70-8-24-72-14-42-25-75-23-69-5-15-45-34

Calculons 1/101 en base 3+101n (3, 104, 205, ...) :

1/101 en base 3 = 0,00002101221221010110211110022000112102202120202211===22220121001001212112011112200222110120020102020011...

1/101 en base 104 = 0,1-3-9-27-83-42-22-67-99-91-66-96-82-39-13-40-16-49-44-28-86-51-50-47-38-10-30-92-70-2-6-18-55-62-84-45-31-95-79-29-89-60-78-26-80-32-98-88-57-68===102-100-94-76-20-61-81-36-4-12-37-7-21-64-90-63-87-54-59-75-17-52-53-56-65-93-73-11-33-101-97-85-48-41-19-58-72-8-24-74-14-43-25-77-23-71-5-15-46-35...

1/101 en base 205 = 0,2-6-18-54-164-83-44-133-196-180-131-190-162-77-26-79-32-97-87-56-170-101-99-93-75-20-60-182-138-4-12-36-109-123-166-89-62-188-156-58-176-119-154-52-158-64-194-174-113-135===202-198-186-150-40-121-160-71-8-24-73-14-42-127-178-125-172-107-117-148-34-103-105-111-129-184-144-22-66-200-192-168-95-81-38-115-142-16-48-146-28-85-50-152-46-140-10-30-91-69...

Et de manière générale en base 3+101n :

[n][3n][9n][27n][2+81n][1+41n][22n][1+66n][2+97n][2+89n][1+65n][2+94n][2+80n][1+38n][13n][1+39n][16n][1+48n][1+43n][28n][2+84n][1+50n][1+49n][1+46n][1+37n][10n][30n][2+90n][2+68n][2n][6n][18n][1+54n][1+61n][2+82n][1+44n][31n][2+93n][2+77n][29n][2+87n][1+59n][2+76n][26n][2+78n][32n][2+96n][2+86n][1+56n][1+67n]===[2+100n][2+98n][2+92n][2+74n][20n][1+60n][2+79n][1+35n][4n][12n][1+36n][7n][21n][1+63n][2+88n][1+62n][2+85n][1+53n][1+58n][2+73n][17n][1+51n][1+52n][1+55n][1+64n][2+91n][2+71n][11n][33n][2+99n][2+95n][2+83n][1+47n][1+40n][19n][1+57n][2+70n][8n][24n][2+72n][14n][1+42n][25n][2+75n][23n][2+69n][5n][15n][1+45n][1+34n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 3 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 34+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 34+101n. La série est alors :

1-34-45-15-5-69-23-75-25-42-14-72-24-8-70-57-19-40-47-83-95-99-33-11-71-91-64-55-52-51-17-73-58-53-85-62-88-63-21-7-36-12-4-35-79-60-20-74-92-98===100-67-56-86-96-32-78-26-76-59-87-29-77-93-31-44-82-61-54-18-6-2-68-90-30-10-37-46-49-50-84-28-43-48-16-39-13-38-80-94-65-89-97-66-22-41-81-27-9-3

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 3+101n.

Calculons 1/101 en base : 34, 135, 236, ...(34+101n) :

1/101 en base 34 = 0,0-11-15-5-1-23-7-25-8-14-4-24-8-2-23-19-6-13-15-27-31-33-11-3-23-30-21-18-17-17-5-24-19-17-28-20-29-21-7-2-12-4-1-11-26-20-6-24-30-32===33-22-18-28-32-10-26-8-25-19-29-9-25-31-10-14-27-20-18-6-2-0-22-30-10-3-12-15-16-16-28-9-14-16-5-13-4-12-26-31-21-29-32-22-7-13-27-9-3-1...

1/101 en base 135 = 0,1-45-60-20-6-92-30-100-33-56-18-96-32-10-93-76-25-53-62-110-126-132-44-14-94-121-85-73-69-68-22-97-77-70-113-82-117-84-28-9-48-16-5-46-105-80-26-98-122-130===133-89-74-114-128-42-104-34-101-78-116-38-102-124-41-58-109-81-72-24-8-2-90-120-40-13-49-61-65-66-112-37-57-64-21-52-17-50-106-125-86-118-129-88-29-54-108-36-12-4...

1/101 en base 236 = 0,2-79-105-35-11-161-53-175-58-98-32-168-56-18-163-133-44-93-109-193-221-231-77-25-165-212-149-128-121-119-39-170-135-123-198-144-205-147-49-16-84-28-9-81-184-140-46-172-214-228===233-156-130-200-224-74-182-60-177-137-203-67-179-217-72-102-191-142-126-42-14-4-158-210-70-23-86-107-114-116-196-65-100-112-37-91-30-88-186-219-151-207-226-154-51-95-189-63-21-7...

Et de manière générale en base 34+101n :

[n][11+34n][15+45n][5+15n][1+5n][23+69n][7+23n][25+75n][8+25n][14+42n][4+14n][24+72n][8+24n][2+8n][23+70n][19+57n][6+19n][13+40n][15+47n][27+83n][31+95n][33+99n][11+33n][3+11n][23+71n][30+91n][21+64n][18+55n][17+52n][17+51n][5+17n][24+73n][19+58n][17+53n][28+85n][20+62n][29+88n][21+63n][7+21n][2+7n][12+36n][4+12n][1+4n][11+35n][26+79n][20+60n][6+20n][24+74n][30+92n][32+98n]===[33+100n][22+67n][18+56n][28+86n][32+96n][10+32n][26+78n][8+26n][25+76n][19+59n][29+87n][9+29n][25+77n][31+93n][10+31n][14+44n][27+82n][20+61n][18+54n][6+18n][2+6n][2n][22+68n][30+90n][10+30n][3+10n][12+37n][15+46n][16+49n][16+50n][28+84n][9+28n][14+43n][16+48n][5+16n][13+39n][4+13n][12+38n][26+80n][31+94n][21+65n][29+89n][32+97n][22+66n][7+22n][13+41n][27+81n][9+27n][3+9n][1+3n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 34 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 3+101n.

Constatons que 3x34 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101