Calcul de 1/101 en base 7+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 7+101n se regroupent elles en cette série ?

1-7-49-40-78-41-85-90-24-67-65-51-54-75-20-39-71-93-45-12-84-83-76-27-88-10-70-86-97-73-6-42-92-38-64-44-5-35-43-99-87-3-21-46-19-32-22-53-68-72===100-94-52-61-23-60-16-11-77-34-36-50-47-26-81-62-30-8-56-89-17-18-25-74-13-91-31-15-4-28-95-59-9-63-37-57-96-66-58-2-14-98-80-55-82-69-79-48-33-29

Calculons 1/101 en base 7+101n (7, 108, 209, ...) :

1/101 en base 7 = 0,00325256144335124630555160456502624302266013121344===66341410522331542036111506210164042364400653545322...

1/101 en base 108 = 0,1-7-52-42-83-43-90-96-25-71-69-54-57-80-21-41-75-99-48-12-89-88-81-28-94-10-74-91-103-78-6-44-98-40-68-47-5-37-45-105-93-3-22-49-20-34-23-56-72-76===106-100-55-65-24-64-17-11-82-36-38-53-50-27-86-66-32-8-59-95-18-19-26-79-13-97-33-16-4-29-101-63-9-67-39-60-102-70-62-2-14-104-85-58-87-73-84-51-35-31...

1/101 en base 209 = 0,2-14-101-82-161-84-175-186-49-138-134-105-111-155-41-80-146-192-93-24-173-171-157-55-182-20-144-177-200-151-12-86-190-78-132-91-10-72-88-204-180-6-43-95-39-66-45-109-140-148===206-194-107-126-47-124-33-22-159-70-74-103-97-53-167-128-62-16-115-184-35-37-51-153-26-188-64-31-8-57-196-122-18-130-76-117-198-136-120-4-28-202-165-113-169-142-163-99-68-60...

Et de manière générale en base 7+101n :

[n][7n][3+49n][2+40n][5+78n][2+41n][5+85n][6+90n][1+24n][4+67n][4+65n][3+51n][3+54n][5+75n][1+20n][2+39n][4+71n][6+93n][3+45n][12n][5+84n][5+83n][5+76n][1+27n][6+88n][10n][4+70n][5+86n][6+97n][5+73n][6n][2+42n][6+92n][2+38n][4+64n][3+44n][5n][2+35n][2+43n][6+99n][6+87n][3n][1+21n][3+46n][1+19n][2+32n][1+22n][3+53n][4+68n][4+72n]===[6+100n][6+94n][3+52n][4+61n][1+23n][4+60n][1+16n][11n][5+77n][2+34n][2+36n][3+50n][3+47n][1+26n][5+81n][4+62n][2+30n][8n][3+56n][6+89n][1+17n][1+18n][1+25n][5+74n][13n][6+91n][2+31n][1+15n][4n][1+28n][6+95n][4+59n][9n][4+63n][2+37n][3+57n][6+96n][4+66n][4+58n][2n][14n][6+98n][5+80n][3+55n][5+82n][4+69n][5+79n][3+48n][2+33n][2+29n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 7 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 29+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 29+101n. La série est alors :

1-29-33-48-79-69-82-55-80-98-14-2-58-66-96-57-37-63-9-59-95-28-4-15-31-91-13-74-25-18-17-89-56-8-30-62-81-26-47-50-36-34-77-11-16-60-23-61-52-94===100-72-68-53-22-32-19-46-21-3-87-99-43-35-5-44-64-38-92-42-6-73-97-86-70-10-88-27-76-83-84-12-45-93-71-39-20-75-54-51-65-67-24-90-85-41-78-40-49-7

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 7+101n.

Calculons 1/101 en base : 29, 130, 231, ...(29+101n) :

1/101 en base 29 = 0,0-8-9-13-22-19-23-15-22-28-4-0-16-18-27-16-10-18-2-16-27-8-1-4-8-26-3-21-7-5-4-25-16-2-8-17-23-7-13-14-10-9-22-3-4-17-6-17-14-26===28-20-19-15-6-9-5-13-6-0-24-28-12-10-1-12-18-10-26-12-1-20-27-24-20-2-25-7-21-23-24-3-12-26-20-11-5-21-15-14-18-19-6-25-24-11-22-11-14-2...

1/101 en base 130 = 0,1-37-42-61-101-88-105-70-102-126-18-2-74-84-123-73-47-81-11-75-122-36-5-19-39-117-16-95-32-23-21-114-72-10-38-79-104-33-60-64-46-43-99-14-20-77-29-78-66-120===128-92-87-68-28-41-24-59-27-3-111-127-55-45-6-56-82-48-118-54-7-93-124-110-90-12-113-34-97-106-108-15-57-119-91-50-25-96-69-65-83-86-30-115-109-52-100-51-63-9...

1/101 en base 231 = 0,2-66-75-109-180-157-187-125-182-224-32-4-132-150-219-130-84-144-20-134-217-64-9-34-70-208-29-169-57-41-38-203-128-18-68-141-185-59-107-114-82-77-176-25-36-137-52-139-118-214===228-164-155-121-50-73-43-105-48-6-198-226-98-80-11-100-146-86-210-96-13-166-221-196-160-22-201-61-173-189-192-27-102-212-162-89-45-171-123-116-148-153-54-205-194-93-178-91-112-16...

Et de manière générale en base 29+101n :

[n][8+29n][9+33n][13+48n][22+79n][19+69n][23+82n][15+55n][22+80n][28+98n][4+14n][2n][16+58n][18+66n][27+96n][16+57n][10+37n][18+63n][2+9n][16+59n][27+95n][8+28n][1+4n][4+15n][8+31n][26+91n][3+13n][21+74n][7+25n][5+18n][4+17n][25+89n][16+56n][2+8n][8+30n][17+62n][23+81n][7+26n][13+47n][14+50n][10+36n][9+34n][22+77n][3+11n][4+16n][17+60n][6+23n][17+61n][14+52n][26+94n]===[28+100n][20+72n][19+68n][15+53n][6+22n][9+32n][5+19n][13+46n][6+21n][3n][24+87n][28+99n][12+43n][10+35n][1+5n][12+44n][18+64n][10+38n][26+92n][12+42n][1+6n][20+73n][27+97n][24+86n][20+70n][2+10n][25+88n][7+27n][21+76n][23+83n][24+84n][3+12n][12+45n][26+93n][20+71n][11+39n][5+20n][21+75n][15+54n][14+51n][18+65n][19+67n][6+24n][25+90n][24+85n][11+41n][22+78n][11+40n][14+49n][2+7n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 29 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 7+101n.

Constatons que 7x29 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101