Calcul de 1/101 en base 8+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 8+101n se regroupent elles en cette série ?

1-8-64-7-56-44-49-89-5-40-17-35-78-18-43-41-25-99-85-74-87-90-13-3-24-91-21-67-31-46-65-15-19-51-4-32-54-28-22-75-95-53-20-59-68-39-9-72-71-63===100-93-37-94-45-57-52-12-96-61-84-66-23-83-58-60-76-2-16-27-14-11-88-98-77-10-80-34-70-55-36-86-82-50-97-69-47-73-79-26-6-48-81-42-33-62-92-29-30-38

Calculons 1/101 en base 8+101n (8, 109, 210, ...) :

1/101 en base 8 = 0,00504337031261331765671017152351140242157414530554===77273440746516446012106760625426637535620363247223...

1/101 en base 109 = 0,1-8-69-7-60-47-52-96-5-43-18-37-84-19-46-44-26-106-91-79-93-97-14-3-25-98-22-72-33-49-70-16-20-55-4-34-58-30-23-80-102-57-21-63-73-42-9-77-76-67===107-100-39-101-48-61-56-12-103-65-90-71-24-89-62-64-82-2-17-29-15-11-94-105-83-10-86-36-75-59-38-92-88-53-104-74-50-78-85-28-6-51-87-45-35-66-99-31-32-41...

1/101 en base 210 = 0,2-16-133-14-116-91-101-185-10-83-35-72-162-37-89-85-51-205-176-153-180-187-27-6-49-189-43-139-64-95-135-31-39-106-8-66-112-58-45-155-197-110-41-122-141-81-18-149-147-130===207-193-76-195-93-118-108-24-199-126-174-137-47-172-120-124-158-4-33-56-29-22-182-203-160-20-166-70-145-114-74-178-170-103-201-143-97-151-164-54-12-99-168-87-68-128-191-60-62-79...

Et de manière générale en base 8+101n :

[n][8n][5+64n][7n][4+56n][3+44n][3+49n][7+89n][5n][3+40n][1+17n][2+35n][6+78n][1+18n][3+43n][3+41n][1+25n][7+99n][6+85n][5+74n][6+87n][7+90n][1+13n][3n][1+24n][7+91n][1+21n][5+67n][2+31n][3+46n][5+65n][1+15n][1+19n][4+51n][4n][2+32n][4+54n][2+28n][1+22n][5+75n][7+95n][4+53n][1+20n][4+59n][5+68n][3+39n][9n][5+72n][5+71n][4+63n]===[7+100n][7+93n][2+37n][7+94n][3+45n][4+57n][4+52n][12n][7+96n][4+61n][6+84n][5+66n][1+23n][6+83n][4+58n][4+60n][6+76n][2n][1+16n][2+27n][1+14n][11n][6+88n][7+98n][6+77n][10n][6+80n][2+34n][5+70n][4+55n][2+36n][6+86n][6+82n][3+50n][7+97n][5+69n][3+47n][5+73n][6+79n][2+26n][6n][3+48n][6+81n][3+42n][2+33n][4+62n][7+92n][2+29n][2+30n][3+38n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 8 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 38+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 38+101n. La série est alors :

1-38-30-29-92-62-33-42-81-48-6-26-79-73-47-69-97-50-82-86-36-55-70-34-80-10-77-98-88-11-14-27-16-2-76-60-58-83-23-66-84-61-96-12-52-57-45-94-37-93===100-63-71-72-9-39-68-59-20-53-95-75-22-28-54-32-4-51-19-15-65-46-31-67-21-91-24-3-13-90-87-74-85-99-25-41-43-18-78-35-17-40-5-89-49-44-56-7-64-8

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 8+101n.

Calculons 1/101 en base : 38, 139, 240, ...(38+101n) :

1/101 en base 38 = 0,0-14-11-10-34-23-12-15-30-18-2-9-29-27-17-25-36-18-30-32-13-20-26-12-30-3-28-36-33-4-5-10-6-0-28-22-21-31-8-24-31-22-36-4-19-21-16-35-13-34===37-23-26-27-3-14-25-22-7-19-35-28-8-10-20-12-1-19-7-5-24-17-11-25-7-34-9-1-4-33-32-27-31-37-9-15-16-6-29-13-6-15-1-33-18-16-21-2-24-3...

1/101 en base 139 = 0,1-52-41-39-126-85-45-57-111-66-8-35-108-100-64-94-133-68-112-118-49-75-96-46-110-13-105-134-121-15-19-37-22-2-104-82-79-114-31-90-115-83-132-16-71-78-61-129-50-127===137-86-97-99-12-53-93-81-27-72-130-103-30-38-74-44-5-70-26-20-89-63-42-92-28-125-33-4-17-123-119-101-116-136-34-56-59-24-107-48-23-55-6-122-67-60-77-9-88-11...

1/101 en base 240 = 0,2-90-71-68-218-147-78-99-192-114-14-61-187-173-111-163-230-118-194-204-85-130-166-80-190-23-182-232-209-26-33-64-38-4-180-142-137-197-54-156-199-144-228-28-123-135-106-223-87-220===237-149-168-171-21-92-161-140-47-125-225-178-52-66-128-76-9-121-45-35-154-109-73-159-49-216-57-7-30-213-206-175-201-235-59-97-102-42-185-83-40-95-11-211-116-104-133-16-152-19...

Et de manière générale en base 38+101n :

[n][14+38n][11+30n][10+29n][34+92n][23+62n][12+33n][15+42n][30+81n][18+48n][2+6n][9+26n][29+79n][27+73n][17+47n][25+69n][36+97n][18+50n][30+82n][32+86n][13+36n][20+55n][26+70n][12+34n][30+80n][3+10n][28+77n][36+98n][33+88n][4+11n][5+14n][10+27n][6+16n][2n][28+76n][22+60n][21+58n][31+83n][8+23n][24+66n][31+84n][22+61n][36+96n][4+12n][19+52n][21+57n][16+45n][35+94n][13+37n][34+93n]===[37+100n][23+63n][26+71n][27+72n][3+9n][14+39n][25+68n][22+59n][7+20n][19+53n][35+95n][28+75n][8+22n][10+28n][20+54n][12+32n][1+4n][19+51n][7+19n][5+15n][24+65n][17+46n][11+31n][25+67n][7+21n][34+91n][9+24n][1+3n][4+13n][33+90n][32+87n][27+74n][31+85n][37+99n][9+25n][15+41n][16+43n][6+18n][29+78n][13+35n][6+17n][15+40n][1+5n][33+89n][18+49n][16+44n][21+56n][2+7n][24+64n][3+8n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 38 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 8+101n.

Constatons que 8x38 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101