Pourquoi les périodes de n/101 en base 11+101n se regroupent elles en cette série ?

1-11-20-18-97-57-21-29-16-75-17-86-37-3-33-60-54-89-70-63-87-48-23-51-56-10-9-99-79-61-65-8-88-59-43-69-52-67-30-27-95-35-82-94-24-62-76-28-5-55===100-90-81-83-4-44-80-72-85-26-84-15-64-98-68-41-47-12-31-38-14-53-78-50-45-91-92-2-22-40-36-93-13-42-58-32-49-34-71-74-6-66-19-7-77-39-25-73-96-46

Calculons 1/101 en base 11+101n (11, 112, 213, ...) :

1/101 en base 11 = 0,0-1-2-1-10-6-2-3-1-8-1-9-4-0-3-6-5-9-7-6-9-5-2-5-6-1-0-10-8-6-7-0-9-6-4-7-5-7-3-2-10-3-8-10-2-6-8-3-0-5===10-9-8-9-0-4-8-7-9-2-9-1-6-10-7-4-5-1-3-4-1-5-8-5-4-9-10-0-2-4-3-10-1-4-6-3-5-3-7-8-0-7-2-0-8-4-2-7-10-5...

1/101 en base 112 = 0,1-12-22-19-107-63-23-32-17-83-18-95-41-3-36-66-59-98-77-69-96-53-25-56-62-11-9-109-87-67-72-8-97-65-47-76-57-74-33-29-105-38-90-104-26-68-84-31-5-60===110-99-89-92-4-48-88-79-94-28-93-16-70-108-75-45-52-13-34-42-15-58-86-55-49-100-102-2-24-44-39-103-14-46-64-35-54-37-78-82-6-73-21-7-85-43-27-80-106-51...

1/101 en base 213 = 0,2-23-42-37-204-120-44-61-33-158-35-181-78-6-69-126-113-187-147-132-183-101-48-107-118-21-18-208-166-128-137-16-185-124-90-145-109-141-63-56-200-73-172-198-50-130-160-59-10-115===210-189-170-175-8-92-168-151-179-54-177-31-134-206-143-86-99-25-65-80-29-111-164-105-94-191-194-4-46-84-75-196-27-88-122-67-103-71-149-156-12-139-40-14-162-82-52-153-202-97...

Et de manière générale en base 11+101n :

[n][1+11n][2+20n][1+18n][10+97n][6+57n][2+21n][3+29n][1+16n][8+75n][1+17n][9+86n][4+37n][3n][3+33n][6+60n][5+54n][9+89n][7+70n][6+63n][9+87n][5+48n][2+23n][5+51n][6+56n][1+10n][9n][10+99n][8+79n][6+61n][7+65n][8n][9+88n][6+59n][4+43n][7+69n][5+52n][7+67n][3+30n][2+27n][10+95n][3+35n][8+82n][10+94n][2+24n][6+62n][8+76n][3+28n][5n][5+55n]===[10+100n][9+90n][8+81n][9+83n][4n][4+44n][8+80n][7+72n][9+85n][2+26n][9+84n][1+15n][6+64n][10+98n][7+68n][4+41n][5+47n][1+12n][3+31n][4+38n][1+14n][5+53n][8+78n][5+50n][4+45n][9+91n][10+92n][2n][2+22n][4+40n][3+36n][10+93n][1+13n][4+42n][6+58n][3+32n][5+49n][3+34n][7+71n][8+74n][6n][7+66n][2+19n][7n][8+77n][4+39n][2+25n][7+73n][10+96n][5+46n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-11-20-18-97-57-21-29-16-75-17-86-37-3-33-60-54-89-70-63-87-48-23-51-56-10-9-99-79-61-65-8-88-59-43-69-52-67-30-27-95-35-82-94-24-62-76-28-5-55===100-90-81-83-4-44-80-72-85-26-84-15-64-98-68-41-47-12-31-38-14-53-78-50-45-91-92-2-22-40-36-93-13-42-58-32-49-34-71-74-6-66-19-7-77-39-25-73-96-46

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 11 modulo 101 

Calcul de 1/101 en base 46+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 46+101n. La série est alors :

1-46-96-73-25-39-77-7-19-66-6-74-71-34-49-32-58-42-13-93-36-40-22-2-92-91-45-50-78-53-14-38-31-12-47-41-68-98-64-15-84-26-85-72-80-44-4-83-81-90===100-55-5-28-76-62-24-94-82-35-95-27-30-67-52-69-43-59-88-8-65-61-79-99-9-10-56-51-23-48-87-63-70-89-54-60-33-3-37-86-17-75-16-29-21-57-97-18-20-11

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 11+101n.

Calculons 1/101 en base : 46, 147, 248, ...(46+101n) :

1/101 en base 46 = 0,0-20-43-33-11-17-35-3-8-30-2-33-32-15-22-14-26-19-5-42-16-18-10-0-41-41-20-22-35-24-6-17-14-5-21-18-30-44-29-6-38-11-38-32-36-20-1-37-36-40===45-25-2-12-34-28-10-42-37-15-43-12-13-30-23-31-19-26-40-3-29-27-35-45-4-4-25-23-10-21-39-28-31-40-24-27-15-1-16-39-7-34-7-13-9-25-44-8-9-5...

1/101 en base 147 = 0,1-66-139-106-36-56-112-10-27-96-8-107-103-49-71-46-84-61-18-135-52-58-32-2-133-132-65-72-113-77-20-55-45-17-68-59-98-142-93-21-122-37-123-104-116-64-5-120-117-130===145-80-7-40-110-90-34-136-119-50-138-39-43-97-75-100-62-85-128-11-94-88-114-144-13-14-81-74-33-69-126-91-101-129-78-87-48-4-53-125-24-109-23-42-30-82-141-26-29-16...

1/101 en base 248 = 0,2-112-235-179-61-95-189-17-46-162-14-181-174-83-120-78-142-103-31-228-88-98-54-4-225-223-110-122-191-130-34-93-76-29-115-100-166-240-157-36-206-63-208-176-196-108-9-203-198-220===245-135-12-68-186-152-58-230-201-85-233-66-73-164-127-169-105-144-216-19-159-149-193-243-22-24-137-125-56-117-213-154-171-218-132-147-81-7-90-211-41-184-39-71-51-139-238-44-49-27...

Et de manière générale en base 46+101n :

[n][20+46n][43+96n][33+73n][11+25n][17+39n][35+77n][3+7n][8+19n][30+66n][2+6n][33+74n][32+71n][15+34n][22+49n][14+32n][26+58n][19+42n][5+13n][42+93n][16+36n][18+40n][10+22n][2n][41+92n][41+91n][20+45n][22+50n][35+78n][24+53n][6+14n][17+38n][14+31n][5+12n][21+47n][18+41n][30+68n][44+98n][29+64n][6+15n][38+84n][11+26n][38+85n][32+72n][36+80n][20+44n][1+4n][37+83n][36+81n][40+90n]===[45+100n][25+55n][2+5n][12+28n][34+76n][28+62n][10+24n][42+94n][37+82n][15+35n][43+95n][12+27n][13+30n][30+67n][23+52n][31+69n][19+43n][26+59n][40+88n][3+8n][29+65n][27+61n][35+79n][45+99n][4+9n][4+10n][25+56n][23+51n][10+23n][21+48n][39+87n][28+63n][31+70n][40+89n][24+54n][27+60n][15+33n][1+3n][16+37n][39+86n][7+17n][34+75n][7+16n][13+29n][9+21n][25+57n][44+97n][8+18n][9+20n][5+11n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-46-96-73-25-39-77-7-19-66-6-74-71-34-49-32-58-42-13-93-36-40-22-2-92-91-45-50-78-53-14-38-31-12-47-41-68-98-64-15-84-26-85-72-80-44-4-83-81-90===100-55-5-28-76-62-24-94-82-35-95-27-30-67-52-69-43-59-88-8-65-61-79-99-9-10-56-51-23-48-87-63-70-89-54-60-33-3-37-86-17-75-16-29-21-57-97-18-20-11

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 46 modulo 101 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 11+101n.

Constatons que 11x46 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101