Pourquoi les périodes de n/101 en base 12+101n se regroupent elles en cette série ?

1-12-43-11-31-69-20-38-52-18-14-67-97-53-30-57-78-27-21-50-95-29-45-35-16-91-82-75-92-94-17-2-24-86-22-62-37-40-76-3-36-28-33-93-5-60-13-55-54-42===100-89-58-90-70-32-81-63-49-83-87-34-4-48-71-44-23-74-80-51-6-72-56-66-85-10-19-26-9-7-84-99-77-15-79-39-64-61-25-98-65-73-68-8-96-41-88-46-47-59

Calculons 1/101 en base 12+101n (12, 113, 214, ...) :

1/101 en base 12 = 0,0-1-5-1-3-8-2-4-6-2-1-7-11-6-3-6-9-3-2-5-11-3-5-4-1-10-9-8-10-11-2-0-2-10-2-7-4-4-9-0-4-3-3-11-0-7-1-6-6-4===11-10-6-10-8-3-9-7-5-9-10-4-0-5-8-5-2-8-9-6-0-8-6-7-10-1-2-3-1-0-9-11-9-1-9-4-7-7-2-11-7-8-8-0-11-4-10-5-5-7...

1/101 en base 113 = 0,1-13-48-12-34-77-22-42-58-20-15-74-108-59-33-63-87-30-23-55-106-32-50-39-17-101-91-83-102-105-19-2-26-96-24-69-41-44-85-3-40-31-36-104-5-67-14-61-60-46===111-99-64-100-78-35-90-70-54-92-97-38-4-53-79-49-25-82-89-57-6-80-62-73-95-11-21-29-10-7-93-110-86-16-88-43-71-68-27-109-72-81-76-8-107-45-98-51-52-66...

1/101 en base 214 = 0,2-25-91-23-65-146-42-80-110-38-29-141-205-112-63-120-165-57-44-105-201-61-95-74-33-192-173-158-194-199-36-4-50-182-46-131-78-84-161-6-76-59-69-197-10-127-27-116-114-88===211-188-122-190-148-67-171-133-103-175-184-72-8-101-150-93-48-156-169-108-12-152-118-139-180-21-40-55-19-14-177-209-163-31-167-82-135-129-52-207-137-154-144-16-203-86-186-97-99-125...

Et de manière générale en base 12+101n :

[n][1+12n][5+43n][1+11n][3+31n][8+69n][2+20n][4+38n][6+52n][2+18n][1+14n][7+67n][11+97n][6+53n][3+30n][6+57n][9+78n][3+27n][2+21n][5+50n][11+95n][3+29n][5+45n][4+35n][1+16n][10+91n][9+82n][8+75n][10+92n][11+94n][2+17n][2n][2+24n][10+86n][2+22n][7+62n][4+37n][4+40n][9+76n][3n][4+36n][3+28n][3+33n][11+93n][5n][7+60n][1+13n][6+55n][6+54n][4+42n]===[11+100n][10+89n][6+58n][10+90n][8+70n][3+32n][9+81n][7+63n][5+49n][9+83n][10+87n][4+34n][4n][5+48n][8+71n][5+44n][2+23n][8+74n][9+80n][6+51n][6n][8+72n][6+56n][7+66n][10+85n][1+10n][2+19n][3+26n][1+9n][7n][9+84n][11+99n][9+77n][1+15n][9+79n][4+39n][7+64n][7+61n][2+25n][11+98n][7+65n][8+73n][8+68n][8n][11+96n][4+41n][10+88n][5+46n][5+47n][7+59n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-12-43-11-31-69-20-38-52-18-14-67-97-53-30-57-78-27-21-50-95-29-45-35-16-91-82-75-92-94-17-2-24-86-22-62-37-40-76-3-36-28-33-93-5-60-13-55-54-42===100-89-58-90-70-32-81-63-49-83-87-34-4-48-71-44-23-74-80-51-6-72-56-66-85-10-19-26-9-7-84-99-77-15-79-39-64-61-25-98-65-73-68-8-96-41-88-46-47-59

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 12 modulo 101 

Calcul de 1/101 en base 59+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 59+101n. La série est alors :

1-59-47-46-88-41-96-8-68-73-65-98-25-61-64-39-79-15-77-99-84-7-9-26-19-10-85-66-56-72-6-51-80-74-23-44-71-48-4-34-87-83-49-63-81-32-70-90-58-89===100-42-54-55-13-60-5-93-33-28-36-3-76-40-37-62-22-86-24-2-17-94-92-75-82-91-16-35-45-29-95-50-21-27-78-57-30-53-97-67-14-18-52-38-20-69-31-11-43-12

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 12+101n.

Calculons 1/101 en base : 59, 160, 261, ...(59+101n) :

1/101 en base 59 = 0,0-34-27-26-51-23-56-4-39-42-37-57-14-35-37-22-46-8-44-57-49-4-5-15-11-5-49-38-32-42-3-29-46-43-13-25-41-28-2-19-50-48-28-36-47-18-40-52-33-51===58-24-31-32-7-35-2-54-19-16-21-1-44-23-21-36-12-50-14-1-9-54-53-43-47-53-9-20-26-16-55-29-12-15-45-33-17-30-56-39-8-10-30-22-11-40-18-6-25-7...

1/101 en base 160 = 0,1-93-74-72-139-64-152-12-107-115-102-155-39-96-101-61-125-23-121-156-133-11-14-41-30-15-134-104-88-114-9-80-126-117-36-69-112-76-6-53-137-131-77-99-128-50-110-142-91-140===158-66-85-87-20-95-7-147-52-44-57-4-120-63-58-98-34-136-38-3-26-148-145-118-129-144-25-55-71-45-150-79-33-42-123-90-47-83-153-106-22-28-82-60-31-109-49-17-68-19...

1/101 en base 261 = 0,2-152-121-118-227-105-248-20-175-188-167-253-64-157-165-100-204-38-198-255-217-18-23-67-49-25-219-170-144-186-15-131-206-191-59-113-183-124-10-87-224-214-126-162-209-82-180-232-149-229===258-108-139-142-33-155-12-240-85-72-93-7-196-103-95-160-56-222-62-5-43-242-237-193-211-235-41-90-116-74-245-129-54-69-201-147-77-136-250-173-36-46-134-98-51-178-80-28-111-31...

Et de manière générale en base 59+101n :

[n][34+59n][27+47n][26+46n][51+88n][23+41n][56+96n][4+8n][39+68n][42+73n][37+65n][57+98n][14+25n][35+61n][37+64n][22+39n][46+79n][8+15n][44+77n][57+99n][49+84n][4+7n][5+9n][15+26n][11+19n][5+10n][49+85n][38+66n][32+56n][42+72n][3+6n][29+51n][46+80n][43+74n][13+23n][25+44n][41+71n][28+48n][2+4n][19+34n][50+87n][48+83n][28+49n][36+63n][47+81n][18+32n][40+70n][52+90n][33+58n][51+89n]===[58+100n][24+42n][31+54n][32+55n][7+13n][35+60n][2+5n][54+93n][19+33n][16+28n][21+36n][1+3n][44+76n][23+40n][21+37n][36+62n][12+22n][50+86n][14+24n][1+2n][9+17n][54+94n][53+92n][43+75n][47+82n][53+91n][9+16n][20+35n][26+45n][16+29n][55+95n][29+50n][12+21n][15+27n][45+78n][33+57n][17+30n][30+53n][56+97n][39+67n][8+14n][10+18n][30+52n][22+38n][11+20n][40+69n][18+31n][6+11n][25+43n][7+12n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-59-47-46-88-41-96-8-68-73-65-98-25-61-64-39-79-15-77-99-84-7-9-26-19-10-85-66-56-72-6-51-80-74-23-44-71-48-4-34-87-83-49-63-81-32-70-90-58-89===100-42-54-55-13-60-5-93-33-28-36-3-76-40-37-62-22-86-24-2-17-94-92-75-82-91-16-35-45-29-95-50-21-27-78-57-30-53-97-67-14-18-52-38-20-69-31-11-43-12

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 59 modulo 101 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 12+101n.

Constatons que 12x59 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101