Pourquoi les périodes de n/101 en base 15+101n se regroupent elles en cette série ?

1-15-23-42-24-57-47-99-71-55-17-53-88-7-4-60-92-67-96-26-87-93-82-18-68-10-49-28-16-38-65-66-81-3-45-69-25-72-70-40-95-11-64-51-58-62-21-12-79-74===100-86-78-59-77-44-54-2-30-46-84-48-13-94-97-41-9-34-5-75-14-8-19-83-33-91-52-73-85-63-36-35-20-98-56-32-76-29-31-61-6-90-37-50-43-39-80-89-22-27

Calculons 1/101 en base 15+101n (15, 116, 217, ...) :

1/101 en base 15 = 0,0-2-3-6-3-8-6-14-10-8-2-7-13-1-0-8-13-9-14-3-12-13-12-2-10-1-7-4-2-5-9-9-12-0-6-10-3-10-10-5-14-1-9-7-8-9-3-1-11-10===14-12-11-8-11-6-8-0-4-6-12-7-1-13-14-6-1-5-0-11-2-1-2-12-4-13-7-10-12-9-5-5-2-14-8-4-11-4-4-9-0-13-5-7-6-5-11-13-3-4...

1/101 en base 116 = 0,1-17-26-48-27-65-53-113-81-63-19-60-101-8-4-68-105-76-110-29-99-106-94-20-78-11-56-32-18-43-74-75-93-3-51-79-28-82-80-45-109-12-73-58-66-71-24-13-90-84===114-98-89-67-88-50-62-2-34-52-96-55-14-107-111-47-10-39-5-86-16-9-21-95-37-104-59-83-97-72-41-40-22-112-64-36-87-33-35-70-6-103-42-57-49-44-91-102-25-31...

1/101 en base 217 = 0,2-32-49-90-51-122-100-212-152-118-36-113-189-15-8-128-197-143-206-55-186-199-176-38-146-21-105-60-34-81-139-141-174-6-96-148-53-154-150-85-204-23-137-109-124-133-45-25-169-158===214-184-167-126-165-94-116-4-64-98-180-103-27-201-208-88-19-73-10-161-30-17-40-178-70-195-111-156-182-135-77-75-42-210-120-68-163-62-66-131-12-193-79-107-92-83-171-191-47-58...

Et de manière générale en base 15+101n :

[n][2+15n][3+23n][6+42n][3+24n][8+57n][6+47n][14+99n][10+71n][8+55n][2+17n][7+53n][13+88n][1+7n][4n][8+60n][13+92n][9+67n][14+96n][3+26n][12+87n][13+93n][12+82n][2+18n][10+68n][1+10n][7+49n][4+28n][2+16n][5+38n][9+65n][9+66n][12+81n][3n][6+45n][10+69n][3+25n][10+72n][10+70n][5+40n][14+95n][1+11n][9+64n][7+51n][8+58n][9+62n][3+21n][1+12n][11+79n][10+74n]===[14+100n][12+86n][11+78n][8+59n][11+77n][6+44n][8+54n][2n][4+30n][6+46n][12+84n][7+48n][1+13n][13+94n][14+97n][6+41n][1+9n][5+34n][5n][11+75n][2+14n][1+8n][2+19n][12+83n][4+33n][13+91n][7+52n][10+73n][12+85n][9+63n][5+36n][5+35n][2+20n][14+98n][8+56n][4+32n][11+76n][4+29n][4+31n][9+61n][6n][13+90n][5+37n][7+50n][6+43n][5+39n][11+80n][13+89n][3+22n][4+27n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-15-23-42-24-57-47-99-71-55-17-53-88-7-4-60-92-67-96-26-87-93-82-18-68-10-49-28-16-38-65-66-81-3-45-69-25-72-70-40-95-11-64-51-58-62-21-12-79-74===100-86-78-59-77-44-54-2-30-46-84-48-13-94-97-41-9-34-5-75-14-8-19-83-33-91-52-73-85-63-36-35-20-98-56-32-76-29-31-61-6-90-37-50-43-39-80-89-22-27

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 15 modulo 101 

Calcul de 1/101 en base 27+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 27+101n. La série est alors :

1-27-22-89-80-39-43-50-37-90-6-61-31-29-76-32-56-98-20-35-36-63-85-73-52-91-33-83-19-8-14-75-5-34-9-41-97-94-13-48-84-46-30-2-54-44-77-59-78-86===100-74-79-12-21-62-58-51-64-11-95-40-70-72-25-69-45-3-81-66-65-38-16-28-49-10-68-18-82-93-87-26-96-67-92-60-4-7-88-53-17-55-71-99-47-57-24-42-23-15

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 15+101n.

Calculons 1/101 en base : 27, 128, 229, ...(27+101n) :

1/101 en base 27 = 0,0-7-5-23-21-10-11-13-9-24-1-16-8-7-20-8-14-26-5-9-9-16-22-19-13-24-8-22-5-2-3-20-1-9-2-10-25-25-3-12-22-12-8-0-14-11-20-15-20-22===26-19-21-3-5-16-15-13-17-2-25-10-18-19-6-18-12-0-21-17-17-10-4-7-13-2-18-4-21-24-23-6-25-17-24-16-1-1-23-14-4-14-18-26-12-15-6-11-6-4...

1/101 en base 128 = 0,1-34-27-112-101-49-54-63-46-114-7-77-39-36-96-40-70-124-25-44-45-79-107-92-65-115-41-105-24-10-17-95-6-43-11-51-122-119-16-60-106-58-38-2-68-55-97-74-98-108===126-93-100-15-26-78-73-64-81-13-120-50-88-91-31-87-57-3-102-83-82-48-20-35-62-12-86-22-103-117-110-32-121-84-116-76-5-8-111-67-21-69-89-125-59-72-30-53-29-19...

1/101 en base 229 = 0,2-61-49-201-181-88-97-113-83-204-13-138-70-65-172-72-126-222-45-79-81-142-192-165-117-206-74-188-43-18-31-170-11-77-20-92-219-213-29-108-190-104-68-4-122-99-174-133-176-194===226-167-179-27-47-140-131-115-145-24-215-90-158-163-56-156-102-6-183-149-147-86-36-63-111-22-154-40-185-210-197-58-217-151-208-136-9-15-199-120-38-124-160-224-106-129-54-95-52-34...

Et de manière générale en base 27+101n :

[n][7+27n][5+22n][23+89n][21+80n][10+39n][11+43n][13+50n][9+37n][24+90n][1+6n][16+61n][8+31n][7+29n][20+76n][8+32n][14+56n][26+98n][5+20n][9+35n][9+36n][16+63n][22+85n][19+73n][13+52n][24+91n][8+33n][22+83n][5+19n][2+8n][3+14n][20+75n][1+5n][9+34n][2+9n][10+41n][25+97n][25+94n][3+13n][12+48n][22+84n][12+46n][8+30n][2n][14+54n][11+44n][20+77n][15+59n][20+78n][22+86n]===[26+100n][19+74n][21+79n][3+12n][5+21n][16+62n][15+58n][13+51n][17+64n][2+11n][25+95n][10+40n][18+70n][19+72n][6+25n][18+69n][12+45n][3n][21+81n][17+66n][17+65n][10+38n][4+16n][7+28n][13+49n][2+10n][18+68n][4+18n][21+82n][24+93n][23+87n][6+26n][25+96n][17+67n][24+92n][16+60n][1+4n][1+7n][23+88n][14+53n][4+17n][14+55n][18+71n][26+99n][12+47n][15+57n][6+24n][11+42n][6+23n][4+15n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-27-22-89-80-39-43-50-37-90-6-61-31-29-76-32-56-98-20-35-36-63-85-73-52-91-33-83-19-8-14-75-5-34-9-41-97-94-13-48-84-46-30-2-54-44-77-59-78-86===100-74-79-12-21-62-58-51-64-11-95-40-70-72-25-69-45-3-81-66-65-38-16-28-49-10-68-18-82-93-87-26-96-67-92-60-4-7-88-53-17-55-71-99-47-57-24-42-23-15

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 27 modulo 101 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 15+101n.

Constatons que 15x27 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101