Pourquoi les périodes de n/101 en base 18+101n se regroupent elles en cette série ?

1-18-21-75-37-60-70-48-56-99-65-59-52-27-82-62-5-90-4-72-84-98-47-38-78-91-22-93-58-34-6-7-25-46-20-57-16-86-33-89-87-51-9-61-88-69-30-35-24-28===100-83-80-26-64-41-31-53-45-2-36-42-49-74-19-39-96-11-97-29-17-3-54-63-23-10-79-8-43-67-95-94-76-55-81-44-85-15-68-12-14-50-92-40-13-32-71-66-77-73

Calculons 1/101 en base 18+101n (18, 119, 220, ...) :

1/101 en base 18 = 0,0-3-3-13-6-10-12-8-9-17-11-10-9-4-14-11-0-16-0-12-14-17-8-6-13-16-3-16-10-6-1-1-4-8-3-10-2-15-5-15-15-9-1-10-15-12-5-6-4-4===17-14-14-4-11-7-5-9-8-0-6-7-8-13-3-6-17-1-17-5-3-0-9-11-4-1-14-1-7-11-16-16-13-9-14-7-15-2-12-2-2-8-16-7-2-5-12-11-13-13...

1/101 en base 119 = 0,1-21-24-88-43-70-82-56-65-116-76-69-61-31-96-73-5-106-4-84-98-115-55-44-91-107-25-109-68-40-7-8-29-54-23-67-18-101-38-104-102-60-10-71-103-81-35-41-28-32===117-97-94-30-75-48-36-62-53-2-42-49-57-87-22-45-113-12-114-34-20-3-63-74-27-11-93-9-50-78-111-110-89-64-95-51-100-17-80-14-16-58-108-47-15-37-83-77-90-86...

1/101 en base 220 = 0,2-39-45-163-80-130-152-104-121-215-141-128-113-58-178-135-10-196-8-156-182-213-102-82-169-198-47-202-126-74-13-15-54-100-43-124-34-187-71-193-189-111-19-132-191-150-65-76-52-60===217-180-174-56-139-89-67-115-98-4-78-91-106-161-41-84-209-23-211-63-37-6-117-137-50-21-172-17-93-145-206-204-165-119-176-95-185-32-148-26-30-108-200-87-28-69-154-143-167-159...

Et de manière générale en base 18+101n :

[n][3+18n][3+21n][13+75n][6+37n][10+60n][12+70n][8+48n][9+56n][17+99n][11+65n][10+59n][9+52n][4+27n][14+82n][11+62n][5n][16+90n][4n][12+72n][14+84n][17+98n][8+47n][6+38n][13+78n][16+91n][3+22n][16+93n][10+58n][6+34n][1+6n][1+7n][4+25n][8+46n][3+20n][10+57n][2+16n][15+86n][5+33n][15+89n][15+87n][9+51n][1+9n][10+61n][15+88n][12+69n][5+30n][6+35n][4+24n][4+28n]===[17+100n][14+83n][14+80n][4+26n][11+64n][7+41n][5+31n][9+53n][8+45n][2n][6+36n][7+42n][8+49n][13+74n][3+19n][6+39n][17+96n][1+11n][17+97n][5+29n][3+17n][3n][9+54n][11+63n][4+23n][1+10n][14+79n][1+8n][7+43n][11+67n][16+95n][16+94n][13+76n][9+55n][14+81n][7+44n][15+85n][2+15n][12+68n][2+12n][2+14n][8+50n][16+92n][7+40n][2+13n][5+32n][12+71n][11+66n][13+77n][13+73n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-18-21-75-37-60-70-48-56-99-65-59-52-27-82-62-5-90-4-72-84-98-47-38-78-91-22-93-58-34-6-7-25-46-20-57-16-86-33-89-87-51-9-61-88-69-30-35-24-28===100-83-80-26-64-41-31-53-45-2-36-42-49-74-19-39-96-11-97-29-17-3-54-63-23-10-79-8-43-67-95-94-76-55-81-44-85-15-68-12-14-50-92-40-13-32-71-66-77-73

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 18 modulo 101 

Calcul de 1/101 en base 73+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 73+101n. La série est alors :

1-73-77-66-71-32-13-40-92-50-14-12-68-15-85-44-81-55-76-94-95-67-43-8-79-10-23-63-54-3-17-29-97-11-96-39-19-74-49-42-36-2-45-53-31-41-64-26-80-83===100-28-24-35-30-69-88-61-9-51-87-89-33-86-16-57-20-46-25-7-6-34-58-93-22-91-78-38-47-98-84-72-4-90-5-62-82-27-52-59-65-99-56-48-70-60-37-75-21-18

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 18+101n.

Calculons 1/101 en base : 73, 174, 275, ...(73+101n) :

1/101 en base 73 = 0,0-52-55-47-51-23-9-28-66-36-10-8-49-10-61-31-58-39-54-67-68-48-31-5-57-7-16-45-39-2-12-20-70-7-69-28-13-53-35-30-26-1-32-38-22-29-46-18-57-59===72-20-17-25-21-49-63-44-6-36-62-64-23-62-11-41-14-33-18-5-4-24-41-67-15-65-56-27-33-70-60-52-2-65-3-44-59-19-37-42-46-71-40-34-50-43-26-54-15-13...

1/101 en base 174 = 0,1-125-132-113-122-55-22-68-158-86-24-20-117-25-146-75-139-94-130-161-163-115-74-13-136-17-39-108-93-5-29-49-167-18-165-67-32-127-84-72-62-3-77-91-53-70-110-44-137-142===172-48-41-60-51-118-151-105-15-87-149-153-56-148-27-98-34-79-43-12-10-58-99-160-37-156-134-65-80-168-144-124-6-155-8-106-141-46-89-101-111-170-96-82-120-103-63-129-36-31...

1/101 en base 275 = 0,2-198-209-179-193-87-35-108-250-136-38-32-185-40-231-119-220-149-206-255-258-182-117-21-215-27-62-171-147-8-46-78-264-29-261-106-51-201-133-114-98-5-122-144-84-111-174-70-217-225===272-76-65-95-81-187-239-166-24-138-236-242-89-234-43-155-54-125-68-19-16-92-157-253-59-247-212-103-127-266-228-196-10-245-13-168-223-73-141-160-176-269-152-130-190-163-100-204-57-49...

Et de manière générale en base 73+101n :

[n][52+73n][55+77n][47+66n][51+71n][23+32n][9+13n][28+40n][66+92n][36+50n][10+14n][8+12n][49+68n][10+15n][61+85n][31+44n][58+81n][39+55n][54+76n][67+94n][68+95n][48+67n][31+43n][5+8n][57+79n][7+10n][16+23n][45+63n][39+54n][2+3n][12+17n][20+29n][70+97n][7+11n][69+96n][28+39n][13+19n][53+74n][35+49n][30+42n][26+36n][1+2n][32+45n][38+53n][22+31n][29+41n][46+64n][18+26n][57+80n][59+83n]===[72+100n][20+28n][17+24n][25+35n][21+30n][49+69n][63+88n][44+61n][6+9n][36+51n][62+87n][64+89n][23+33n][62+86n][11+16n][41+57n][14+20n][33+46n][18+25n][5+7n][4+6n][24+34n][41+58n][67+93n][15+22n][65+91n][56+78n][27+38n][33+47n][70+98n][60+84n][52+72n][2+4n][65+90n][3+5n][44+62n][59+82n][19+27n][37+52n][42+59n][46+65n][71+99n][40+56n][34+48n][50+70n][43+60n][26+37n][54+75n][15+21n][13+18n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-73-77-66-71-32-13-40-92-50-14-12-68-15-85-44-81-55-76-94-95-67-43-8-79-10-23-63-54-3-17-29-97-11-96-39-19-74-49-42-36-2-45-53-31-41-64-26-80-83===100-28-24-35-30-69-88-61-9-51-87-89-33-86-16-57-20-46-25-7-6-34-58-93-22-91-78-38-47-98-84-72-4-90-5-62-82-27-52-59-65-99-56-48-70-60-37-75-21-18

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 73 modulo 101 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 18+101n.

Constatons que 18x73 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101