Pourquoi les périodes de n/101 en base 26+101n se regroupent elles en cette série ?

1-26-70-2-52-39-4-3-78-8-6-55-16-12-9-32-24-18-64-48-36-27-96-72-54-91-43-7-81-86-14-61-71-28-21-41-56-42-82-11-84-63-22-67-25-44-33-50-88-66===100-75-31-99-49-62-97-98-23-93-95-46-85-89-92-69-77-83-37-53-65-74-5-29-47-10-58-94-20-15-87-40-30-73-80-60-45-59-19-90-17-38-79-34-76-57-68-51-13-35

Calculons 1/101 en base 26+101n (26, 127, 228, ...) :

1/101 en base 26 = 0,0-6-18-0-13-10-1-0-20-2-1-14-4-3-2-8-6-4-16-12-9-6-24-18-13-23-11-1-20-22-3-15-18-7-5-10-14-10-21-2-21-16-5-17-6-11-8-12-22-16===25-19-7-25-12-15-24-25-5-23-24-11-21-22-23-17-19-21-9-13-16-19-1-7-12-2-14-24-5-3-22-10-7-18-20-15-11-15-4-23-4-9-20-8-19-14-17-13-3-9...

1/101 en base 127 = 0,1-32-88-2-65-49-5-3-98-10-7-69-20-15-11-40-30-22-80-60-45-33-120-90-67-114-54-8-101-108-17-76-89-35-26-51-70-52-103-13-105-79-27-84-31-55-41-62-110-82===125-94-38-124-61-77-121-123-28-116-119-57-106-111-115-86-96-104-46-66-81-93-6-36-59-12-72-118-25-18-109-50-37-91-100-75-56-74-23-113-21-47-99-42-95-71-85-64-16-44...

1/101 en base 228 = 0,2-58-158-4-117-88-9-6-176-18-13-124-36-27-20-72-54-40-144-108-81-60-216-162-121-205-97-15-182-194-31-137-160-63-47-92-126-94-185-24-189-142-49-151-56-99-74-112-198-148===225-169-69-223-110-139-218-221-51-209-214-103-191-200-207-155-173-187-83-119-146-167-11-65-106-22-130-212-45-33-196-90-67-164-180-135-101-133-42-203-38-85-178-76-171-128-153-115-29-79...

Et de manière générale en base 26+101n :

[n][6+26n][18+70n][2n][13+52n][10+39n][1+4n][3n][20+78n][2+8n][1+6n][14+55n][4+16n][3+12n][2+9n][8+32n][6+24n][4+18n][16+64n][12+48n][9+36n][6+27n][24+96n][18+72n][13+54n][23+91n][11+43n][1+7n][20+81n][22+86n][3+14n][15+61n][18+71n][7+28n][5+21n][10+41n][14+56n][10+42n][21+82n][2+11n][21+84n][16+63n][5+22n][17+67n][6+25n][11+44n][8+33n][12+50n][22+88n][16+66n]===[25+100n][19+75n][7+31n][25+99n][12+49n][15+62n][24+97n][25+98n][5+23n][23+93n][24+95n][11+46n][21+85n][22+89n][23+92n][17+69n][19+77n][21+83n][9+37n][13+53n][16+65n][19+74n][1+5n][7+29n][12+47n][2+10n][14+58n][24+94n][5+20n][3+15n][22+87n][10+40n][7+30n][18+73n][20+80n][15+60n][11+45n][15+59n][4+19n][23+90n][4+17n][9+38n][20+79n][8+34n][19+76n][14+57n][17+68n][13+51n][3+13n][9+35n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-26-70-2-52-39-4-3-78-8-6-55-16-12-9-32-24-18-64-48-36-27-96-72-54-91-43-7-81-86-14-61-71-28-21-41-56-42-82-11-84-63-22-67-25-44-33-50-88-66===100-75-31-99-49-62-97-98-23-93-95-46-85-89-92-69-77-83-37-53-65-74-5-29-47-10-58-94-20-15-87-40-30-73-80-60-45-59-19-90-17-38-79-34-76-57-68-51-13-35

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 26 modulo 101 

Calcul de 1/101 en base 35+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 35+101n. La série est alors :

1-35-13-51-68-57-76-34-79-38-17-90-19-59-45-60-80-73-30-40-87-15-20-94-58-10-47-29-5-74-65-53-37-83-77-69-92-89-85-46-95-93-23-98-97-62-49-99-31-75===100-66-88-50-33-44-25-67-22-63-84-11-82-42-56-41-21-28-71-61-14-86-81-7-43-91-54-72-96-27-36-48-64-18-24-32-9-12-16-55-6-8-78-3-4-39-52-2-70-26

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 26+101n.

Calculons 1/101 en base : 35, 136, 237, ...(35+101n) :

1/101 en base 35 = 0,0-12-4-17-23-19-26-11-27-13-5-31-6-20-15-20-27-25-10-13-30-5-6-32-20-3-16-10-1-25-22-18-12-28-26-23-31-30-29-15-32-32-7-33-33-21-16-34-10-25===34-22-30-17-11-15-8-23-7-21-29-3-28-14-19-14-7-9-24-21-4-29-28-2-14-31-18-24-33-9-12-16-22-6-8-11-3-4-5-19-2-2-27-1-1-13-18-0-24-9...

1/101 en base 136 = 0,1-47-17-68-91-76-102-45-106-51-22-121-25-79-60-80-107-98-40-53-117-20-26-126-78-13-63-39-6-99-87-71-49-111-103-92-123-119-114-61-127-125-30-131-130-83-65-133-41-100===134-88-118-67-44-59-33-90-29-84-113-14-110-56-75-55-28-37-95-82-18-115-109-9-57-122-72-96-129-36-48-64-86-24-32-43-12-16-21-74-8-10-105-4-5-52-70-2-94-35...

1/101 en base 237 = 0,2-82-30-119-159-133-178-79-185-89-39-211-44-138-105-140-187-171-70-93-204-35-46-220-136-23-110-68-11-173-152-124-86-194-180-161-215-208-199-107-222-218-53-229-227-145-114-232-72-175===234-154-206-117-77-103-58-157-51-147-197-25-192-98-131-96-49-65-166-143-32-201-190-16-100-213-126-168-225-63-84-112-150-42-56-75-21-28-37-129-14-18-183-7-9-91-122-4-164-61...

Et de manière générale en base 35+101n :

[n][12+35n][4+13n][17+51n][23+68n][19+57n][26+76n][11+34n][27+79n][13+38n][5+17n][31+90n][6+19n][20+59n][15+45n][20+60n][27+80n][25+73n][10+30n][13+40n][30+87n][5+15n][6+20n][32+94n][20+58n][3+10n][16+47n][10+29n][1+5n][25+74n][22+65n][18+53n][12+37n][28+83n][26+77n][23+69n][31+92n][30+89n][29+85n][15+46n][32+95n][32+93n][7+23n][33+98n][33+97n][21+62n][16+49n][34+99n][10+31n][25+75n]===[34+100n][22+66n][30+88n][17+50n][11+33n][15+44n][8+25n][23+67n][7+22n][21+63n][29+84n][3+11n][28+82n][14+42n][19+56n][14+41n][7+21n][9+28n][24+71n][21+61n][4+14n][29+86n][28+81n][2+7n][14+43n][31+91n][18+54n][24+72n][33+96n][9+27n][12+36n][16+48n][22+64n][6+18n][8+24n][11+32n][3+9n][4+12n][5+16n][19+55n][2+6n][2+8n][27+78n][1+3n][1+4n][13+39n][18+52n][2n][24+70n][9+26n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-35-13-51-68-57-76-34-79-38-17-90-19-59-45-60-80-73-30-40-87-15-20-94-58-10-47-29-5-74-65-53-37-83-77-69-92-89-85-46-95-93-23-98-97-62-49-99-31-75===100-66-88-50-33-44-25-67-22-63-84-11-82-42-56-41-21-28-71-61-14-86-81-7-43-91-54-72-96-27-36-48-64-18-24-32-9-12-16-55-6-8-78-3-4-39-52-2-70-26

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 35 modulo 101 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 26+101n.

Constatons que 26x35 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101