Pourquoi les périodes de n/101 en base 28+101n se regroupent elles en cette série ?

1-28-77-35-71-69-13-61-92-51-14-89-68-86-85-57-81-46-76-7-95-34-43-93-79-91-23-38-54-98-17-72-97-90-96-62-19-27-49-59-36-99-45-48-31-60-64-75-80-18===100-73-24-66-30-32-88-40-9-50-87-12-33-15-16-44-20-55-25-94-6-67-58-8-22-10-78-63-47-3-84-29-4-11-5-39-82-74-52-42-65-2-56-53-70-41-37-26-21-83

Calculons 1/101 en base 28+101n (28, 129, 230, ...) :

1/101 en base 28 = 0,0-7-21-9-19-19-3-16-25-14-3-24-18-23-23-15-22-12-21-1-26-9-11-25-21-25-6-10-14-27-4-19-26-24-26-17-5-7-13-16-9-27-12-13-8-16-17-20-22-4===27-20-6-18-8-8-24-11-2-13-24-3-9-4-4-12-5-15-6-26-1-18-16-2-6-2-21-17-13-0-23-8-1-3-1-10-22-20-14-11-18-0-15-14-19-11-10-7-5-23...

1/101 en base 129 = 0,1-35-98-44-90-88-16-77-117-65-17-113-86-109-108-72-103-58-97-8-121-43-54-118-100-116-29-48-68-125-21-91-123-114-122-79-24-34-62-75-45-126-57-61-39-76-81-95-102-22===127-93-30-84-38-40-112-51-11-63-111-15-42-19-20-56-25-70-31-120-7-85-74-10-28-12-99-80-60-3-107-37-5-14-6-49-104-94-66-53-83-2-71-67-89-52-47-33-26-106...

1/101 en base 230 = 0,2-63-175-79-161-157-29-138-209-116-31-202-154-195-193-129-184-104-173-15-216-77-97-211-179-207-52-86-122-223-38-163-220-204-218-141-43-61-111-134-81-225-102-109-70-136-145-170-182-40===227-166-54-150-68-72-200-91-20-113-198-27-75-34-36-100-45-125-56-214-13-152-132-18-50-22-177-143-107-6-191-66-9-25-11-88-186-168-118-95-148-4-127-120-159-93-84-59-47-189...

Et de manière générale en base 28+101n :

[n][7+28n][21+77n][9+35n][19+71n][19+69n][3+13n][16+61n][25+92n][14+51n][3+14n][24+89n][18+68n][23+86n][23+85n][15+57n][22+81n][12+46n][21+76n][1+7n][26+95n][9+34n][11+43n][25+93n][21+79n][25+91n][6+23n][10+38n][14+54n][27+98n][4+17n][19+72n][26+97n][24+90n][26+96n][17+62n][5+19n][7+27n][13+49n][16+59n][9+36n][27+99n][12+45n][13+48n][8+31n][16+60n][17+64n][20+75n][22+80n][4+18n]===[27+100n][20+73n][6+24n][18+66n][8+30n][8+32n][24+88n][11+40n][2+9n][13+50n][24+87n][3+12n][9+33n][4+15n][4+16n][12+44n][5+20n][15+55n][6+25n][26+94n][1+6n][18+67n][16+58n][2+8n][6+22n][2+10n][21+78n][17+63n][13+47n][3n][23+84n][8+29n][1+4n][3+11n][1+5n][10+39n][22+82n][20+74n][14+52n][11+42n][18+65n][2n][15+56n][14+53n][19+70n][11+41n][10+37n][7+26n][5+21n][23+83n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-28-77-35-71-69-13-61-92-51-14-89-68-86-85-57-81-46-76-7-95-34-43-93-79-91-23-38-54-98-17-72-97-90-96-62-19-27-49-59-36-99-45-48-31-60-64-75-80-18===100-73-24-66-30-32-88-40-9-50-87-12-33-15-16-44-20-55-25-94-6-67-58-8-22-10-78-63-47-3-84-29-4-11-5-39-82-74-52-42-65-2-56-53-70-41-37-26-21-83

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 28 modulo 101 

Calcul de 1/101 en base 83+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 83+101n. La série est alors :

1-83-21-26-37-41-70-53-56-2-65-42-52-74-82-39-5-11-4-29-84-3-47-63-78-10-22-8-58-67-6-94-25-55-20-44-16-15-33-12-87-50-9-40-88-32-30-66-24-73===100-18-80-75-64-60-31-48-45-99-36-59-49-27-19-62-96-90-97-72-17-98-54-38-23-91-79-93-43-34-95-7-76-46-81-57-85-86-68-89-14-51-92-61-13-69-71-35-77-28

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 28+101n.

Calculons 1/101 en base : 83, 184, 285, ...(83+101n) :

1/101 en base 83 = 0,0-68-17-21-30-33-57-43-46-1-53-34-42-60-67-32-4-9-3-23-69-2-38-51-64-8-18-6-47-55-4-77-20-45-16-36-13-12-27-9-71-41-7-32-72-26-24-54-19-59===82-14-65-61-52-49-25-39-36-81-29-48-40-22-15-50-78-73-79-59-13-80-44-31-18-74-64-76-35-27-78-5-62-37-66-46-69-70-55-73-11-41-75-50-10-56-58-28-63-23...

1/101 en base 184 = 0,1-151-38-47-67-74-127-96-102-3-118-76-94-134-149-71-9-20-7-52-153-5-85-114-142-18-40-14-105-122-10-171-45-100-36-80-29-27-60-21-158-91-16-72-160-58-54-120-43-132===182-32-145-136-116-109-56-87-81-180-65-107-89-49-34-112-174-163-176-131-30-178-98-69-41-165-143-169-78-61-173-12-138-83-147-103-154-156-123-162-25-92-167-111-23-125-129-63-140-51...

1/101 en base 285 = 0,2-234-59-73-104-115-197-149-158-5-183-118-146-208-231-110-14-31-11-81-237-8-132-177-220-28-62-22-163-189-16-265-70-155-56-124-45-42-93-33-245-141-25-112-248-90-84-186-67-205===282-50-225-211-180-169-87-135-126-279-101-166-138-76-53-174-270-253-273-203-47-276-152-107-64-256-222-262-121-95-268-19-214-129-228-160-239-242-191-251-39-143-259-172-36-194-200-98-217-79...

Et de manière générale en base 83+101n :

[n][68+83n][17+21n][21+26n][30+37n][33+41n][57+70n][43+53n][46+56n][1+2n][53+65n][34+42n][42+52n][60+74n][67+82n][32+39n][4+5n][9+11n][3+4n][23+29n][69+84n][2+3n][38+47n][51+63n][64+78n][8+10n][18+22n][6+8n][47+58n][55+67n][4+6n][77+94n][20+25n][45+55n][16+20n][36+44n][13+16n][12+15n][27+33n][9+12n][71+87n][41+50n][7+9n][32+40n][72+88n][26+32n][24+30n][54+66n][19+24n][59+73n]===[82+100n][14+18n][65+80n][61+75n][52+64n][49+60n][25+31n][39+48n][36+45n][81+99n][29+36n][48+59n][40+49n][22+27n][15+19n][50+62n][78+96n][73+90n][79+97n][59+72n][13+17n][80+98n][44+54n][31+38n][18+23n][74+91n][64+79n][76+93n][35+43n][27+34n][78+95n][5+7n][62+76n][37+46n][66+81n][46+57n][69+85n][70+86n][55+68n][73+89n][11+14n][41+51n][75+92n][50+61n][10+13n][56+69n][58+71n][28+35n][63+77n][23+28n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-83-21-26-37-41-70-53-56-2-65-42-52-74-82-39-5-11-4-29-84-3-47-63-78-10-22-8-58-67-6-94-25-55-20-44-16-15-33-12-87-50-9-40-88-32-30-66-24-73===100-18-80-75-64-60-31-48-45-99-36-59-49-27-19-62-96-90-97-72-17-98-54-38-23-91-79-93-43-34-95-7-76-46-81-57-85-86-68-89-14-51-92-61-13-69-71-35-77-28

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 83 modulo 101 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 28+101n.

Constatons que 28x83 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101