Calcul de 1/101 en base 40+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 40+101n se regroupent elles en cette série ?

1-40-85-67-54-39-45-83-88-86-6-38-5-99-21-32-68-94-23-11-36-26-30-89-25-91-4-59-37-66-14-55-79-29-49-41-24-51-20-93-84-27-70-73-92-44-43-3-19-53===100-61-16-34-47-62-56-18-13-15-95-63-96-2-80-69-33-7-78-90-65-75-71-12-76-10-97-42-64-35-87-46-22-72-52-60-77-50-81-8-17-74-31-28-9-57-58-98-82-48

Calculons 1/101 en base 40+101n (40, 141, 242, ...) :

1/101 en base 40 = 0,0-15-33-26-21-15-17-32-34-34-2-15-1-39-8-12-26-37-9-4-14-10-11-35-9-36-1-23-14-26-5-21-31-11-19-16-9-20-7-36-33-10-27-28-36-17-17-1-7-20===39-24-6-13-18-24-22-7-5-5-37-24-38-0-31-27-13-2-30-35-25-29-28-4-30-3-38-16-25-13-34-18-8-28-20-23-30-19-32-3-6-29-12-11-3-22-22-38-32-19...

1/101 en base 141 = 0,1-55-118-93-75-54-62-115-122-120-8-53-6-138-29-44-94-131-32-15-50-36-41-124-34-127-5-82-51-92-19-76-110-40-68-57-33-71-27-129-117-37-97-101-128-61-60-4-26-73===139-85-22-47-65-86-78-25-18-20-132-87-134-2-111-96-46-9-108-125-90-104-99-16-106-13-135-58-89-48-121-64-30-100-72-83-107-69-113-11-23-103-43-39-12-79-80-136-114-67...

1/101 en base 242 = 0,2-95-203-160-129-93-107-198-210-206-14-91-11-237-50-76-162-225-55-26-86-62-71-213-59-218-9-141-88-158-33-131-189-69-117-98-57-122-47-222-201-64-167-174-220-105-103-7-45-126===239-146-38-81-112-148-134-43-31-35-227-150-230-4-191-165-79-16-186-215-155-179-170-28-182-23-232-100-153-83-208-110-52-172-124-143-184-119-194-19-40-177-74-67-21-136-138-234-196-115...

Et de manière générale en base 40+101n :

[n][15+40n][33+85n][26+67n][21+54n][15+39n][17+45n][32+83n][34+88n][34+86n][2+6n][15+38n][1+5n][39+99n][8+21n][12+32n][26+68n][37+94n][9+23n][4+11n][14+36n][10+26n][11+30n][35+89n][9+25n][36+91n][1+4n][23+59n][14+37n][26+66n][5+14n][21+55n][31+79n][11+29n][19+49n][16+41n][9+24n][20+51n][7+20n][36+93n][33+84n][10+27n][27+70n][28+73n][36+92n][17+44n][17+43n][1+3n][7+19n][20+53n]===[39+100n][24+61n][6+16n][13+34n][18+47n][24+62n][22+56n][7+18n][5+13n][5+15n][37+95n][24+63n][38+96n][2n][31+80n][27+69n][13+33n][2+7n][30+78n][35+90n][25+65n][29+75n][28+71n][4+12n][30+76n][3+10n][38+97n][16+42n][25+64n][13+35n][34+87n][18+46n][8+22n][28+72n][20+52n][23+60n][30+77n][19+50n][32+81n][3+8n][6+17n][29+74n][12+31n][11+28n][3+9n][22+57n][22+58n][38+98n][32+82n][19+48n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 40 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 48+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 48+101n. La série est alors :

1-48-82-98-58-57-9-28-31-74-17-8-81-50-77-60-52-72-22-46-87-35-64-42-97-10-76-12-71-75-65-90-78-7-33-69-80-2-96-63-95-15-13-18-56-62-47-34-16-61===100-53-19-3-43-44-92-73-70-27-84-93-20-51-24-41-49-29-79-55-14-66-37-59-4-91-25-89-30-26-36-11-23-94-68-32-21-99-5-38-6-86-88-83-45-39-54-67-85-40

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 40+101n.

Calculons 1/101 en base : 48, 149, 250, ...(48+101n) :

1/101 en base 48 = 0,0-22-38-46-27-27-4-13-14-35-8-3-38-23-36-28-24-34-10-21-41-16-30-19-46-4-36-5-33-35-30-42-37-3-15-32-38-0-45-29-45-7-6-8-26-29-22-16-7-28===47-25-9-1-20-20-43-34-33-12-39-44-9-24-11-19-23-13-37-26-6-31-17-28-1-43-11-42-14-12-17-5-10-44-32-15-9-47-2-18-2-40-41-39-21-18-25-31-40-19...

1/101 en base 149 = 0,1-70-120-144-85-84-13-41-45-109-25-11-119-73-113-88-76-106-32-67-128-51-94-61-143-14-112-17-104-110-95-132-115-10-48-101-118-2-141-92-140-22-19-26-82-91-69-50-23-89===147-78-28-4-63-64-135-107-103-39-123-137-29-75-35-60-72-42-116-81-20-97-54-87-5-134-36-131-44-38-53-16-33-138-100-47-30-146-7-56-8-126-129-122-66-57-79-98-125-59...

1/101 en base 250 = 0,2-118-202-242-143-141-22-69-76-183-42-19-200-123-190-148-128-178-54-113-215-86-158-103-240-24-188-29-175-185-160-222-193-17-81-170-198-4-237-155-235-37-32-44-138-153-116-84-39-150===247-131-47-7-106-108-227-180-173-66-207-230-49-126-59-101-121-71-195-136-34-163-91-146-9-225-61-220-74-64-89-27-56-232-168-79-51-245-12-94-14-212-217-205-111-96-133-165-210-99...

Et de manière générale en base 48+101n :

[n][22+48n][38+82n][46+98n][27+58n][27+57n][4+9n][13+28n][14+31n][35+74n][8+17n][3+8n][38+81n][23+50n][36+77n][28+60n][24+52n][34+72n][10+22n][21+46n][41+87n][16+35n][30+64n][19+42n][46+97n][4+10n][36+76n][5+12n][33+71n][35+75n][30+65n][42+90n][37+78n][3+7n][15+33n][32+69n][38+80n][2n][45+96n][29+63n][45+95n][7+15n][6+13n][8+18n][26+56n][29+62n][22+47n][16+34n][7+16n][28+61n]===[47+100n][25+53n][9+19n][1+3n][20+43n][20+44n][43+92n][34+73n][33+70n][12+27n][39+84n][44+93n][9+20n][24+51n][11+24n][19+41n][23+49n][13+29n][37+79n][26+55n][6+14n][31+66n][17+37n][28+59n][1+4n][43+91n][11+25n][42+89n][14+30n][12+26n][17+36n][5+11n][10+23n][44+94n][32+68n][15+32n][9+21n][47+99n][2+5n][18+38n][2+6n][40+86n][41+88n][39+83n][21+45n][18+39n][25+54n][31+67n][40+85n][19+40n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 48 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 40+101n.

Constatons que 40x48 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101