Calcul de 1/101 en base 42+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 42+101n se regroupent elles en cette série ?

1-42-47-55-88-60-96-93-68-28-65-3-25-40-64-62-79-86-77-2-84-94-9-75-19-91-85-35-56-29-6-50-80-27-23-57-71-53-4-67-87-18-49-38-81-69-70-11-58-12===100-59-54-46-13-41-5-8-33-73-36-98-76-61-37-39-22-15-24-99-17-7-92-26-82-10-16-66-45-72-95-51-21-74-78-44-30-48-97-34-14-83-52-63-20-32-31-90-43-89

Calculons 1/101 en base 42+101n (42, 143, 244, ...) :

1/101 en base 42 = 0,0-17-19-22-36-24-39-38-28-11-27-1-10-16-26-25-32-35-32-0-34-39-3-31-7-37-35-14-23-12-2-20-33-11-9-23-29-22-1-27-36-7-20-15-33-28-29-4-24-4===41-24-22-19-5-17-2-3-13-30-14-40-31-25-15-16-9-6-9-41-7-2-38-10-34-4-6-27-18-29-39-21-8-30-32-18-12-19-40-14-5-34-21-26-8-13-12-37-17-37...

1/101 en base 143 = 0,1-59-66-77-124-84-135-131-96-39-92-4-35-56-90-87-111-121-109-2-118-133-12-106-26-128-120-49-79-41-8-70-113-38-32-80-100-75-5-94-123-25-69-53-114-97-99-15-82-16===141-83-76-65-18-58-7-11-46-103-50-138-107-86-52-55-31-21-33-140-24-9-130-36-116-14-22-93-63-101-134-72-29-104-110-62-42-67-137-48-19-117-73-89-28-45-43-127-60-126...

1/101 en base 244 = 0,2-101-113-132-212-144-231-224-164-67-157-7-60-96-154-149-190-207-186-4-202-227-21-181-45-219-205-84-135-70-14-120-193-65-55-137-171-128-9-161-210-43-118-91-195-166-169-26-140-28===241-142-130-111-31-99-12-19-79-176-86-236-183-147-89-94-53-36-57-239-41-16-222-62-198-24-38-159-108-173-229-123-50-178-188-106-72-115-234-82-33-200-125-152-48-77-74-217-103-215...

Et de manière générale en base 42+101n :

[n][17+42n][19+47n][22+55n][36+88n][24+60n][39+96n][38+93n][28+68n][11+28n][27+65n][1+3n][10+25n][16+40n][26+64n][25+62n][32+79n][35+86n][32+77n][2n][34+84n][39+94n][3+9n][31+75n][7+19n][37+91n][35+85n][14+35n][23+56n][12+29n][2+6n][20+50n][33+80n][11+27n][9+23n][23+57n][29+71n][22+53n][1+4n][27+67n][36+87n][7+18n][20+49n][15+38n][33+81n][28+69n][29+70n][4+11n][24+58n][4+12n]===[41+100n][24+59n][22+54n][19+46n][5+13n][17+41n][2+5n][3+8n][13+33n][30+73n][14+36n][40+98n][31+76n][25+61n][15+37n][16+39n][9+22n][6+15n][9+24n][41+99n][7+17n][2+7n][38+92n][10+26n][34+82n][4+10n][6+16n][27+66n][18+45n][29+72n][39+95n][21+51n][8+21n][30+74n][32+78n][18+44n][12+30n][19+48n][40+97n][14+34n][5+14n][34+83n][21+52n][26+63n][8+20n][13+32n][12+31n][37+90n][17+43n][37+89n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 42 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 89+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 89+101n. La série est alors :

1-89-43-90-31-32-20-63-52-83-14-34-97-48-30-44-78-74-21-51-95-72-45-66-16-10-82-26-92-7-17-99-24-15-22-39-37-61-76-98-36-73-33-8-5-41-13-46-54-59===100-12-58-11-70-69-81-38-49-18-87-67-4-53-71-57-23-27-80-50-6-29-56-35-85-91-19-75-9-94-84-2-77-86-79-62-64-40-25-3-65-28-68-93-96-60-88-55-47-42

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 42+101n.

Calculons 1/101 en base : 89, 190, 291, ...(89+101n) :

1/101 en base 89 = 0,0-78-37-79-27-28-17-55-45-73-12-29-85-42-26-38-68-65-18-44-83-63-39-58-14-8-72-22-81-6-14-87-21-13-19-34-32-53-66-86-31-64-29-7-4-36-11-40-47-51===88-10-51-9-61-60-71-33-43-15-76-59-3-46-62-50-20-23-70-44-5-25-49-30-74-80-16-66-7-82-74-1-67-75-69-54-56-35-22-2-57-24-59-81-84-52-77-48-41-37...

1/101 en base 190 = 0,1-167-80-169-58-60-37-118-97-156-26-63-182-90-56-82-146-139-39-95-178-135-84-124-30-18-154-48-173-13-31-186-45-28-41-73-69-114-142-184-67-137-62-15-9-77-24-86-101-110===188-22-109-20-131-129-152-71-92-33-163-126-7-99-133-107-43-50-150-94-11-54-105-65-159-171-35-141-16-176-158-3-144-161-148-116-120-75-47-5-122-52-127-174-180-112-165-103-88-79...

1/101 en base 291 = 0,2-256-123-259-89-92-57-181-149-239-40-97-279-138-86-126-224-213-60-146-273-207-129-190-46-28-236-74-265-20-48-285-69-43-63-112-106-175-218-282-103-210-95-23-14-118-37-132-155-169===288-34-167-31-201-198-233-109-141-51-250-193-11-152-204-164-66-77-230-144-17-83-161-100-244-262-54-216-25-270-242-5-221-247-227-178-184-115-72-8-187-80-195-267-276-172-253-158-135-121...

Et de manière générale en base 89+101n :

[n][78+89n][37+43n][79+90n][27+31n][28+32n][17+20n][55+63n][45+52n][73+83n][12+14n][29+34n][85+97n][42+48n][26+30n][38+44n][68+78n][65+74n][18+21n][44+51n][83+95n][63+72n][39+45n][58+66n][14+16n][8+10n][72+82n][22+26n][81+92n][6+7n][14+17n][87+99n][21+24n][13+15n][19+22n][34+39n][32+37n][53+61n][66+76n][86+98n][31+36n][64+73n][29+33n][7+8n][4+5n][36+41n][11+13n][40+46n][47+54n][51+59n]===[88+100n][10+12n][51+58n][9+11n][61+70n][60+69n][71+81n][33+38n][43+49n][15+18n][76+87n][59+67n][3+4n][46+53n][62+71n][50+57n][20+23n][23+27n][70+80n][44+50n][5+6n][25+29n][49+56n][30+35n][74+85n][80+91n][16+19n][66+75n][7+9n][82+94n][74+84n][1+2n][67+77n][75+86n][69+79n][54+62n][56+64n][35+40n][22+25n][2+3n][57+65n][24+28n][59+68n][81+93n][84+96n][52+60n][77+88n][48+55n][41+47n][37+42n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 89 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 42+101n.

Constatons que 42x89 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101