Calcul de 1/101 en base 50+101n.

Pourquoi les périodes de n/101 en base 50+101n se regroupent elles en cette série ?

1-50-76-63-19-41-30-86-58-72-65-18-92-55-23-39-31-35-33-34-84-59-21-40-81-10-96-53-24-89-6-98-52-75-13-44-79-11-45-28-87-7-47-27-37-32-85-8-97-2===100-51-25-38-82-60-71-15-43-29-36-83-9-46-78-62-70-66-68-67-17-42-80-61-20-91-5-48-77-12-95-3-49-26-88-57-22-90-56-73-14-94-54-74-64-69-16-93-4-99

Calculons 1/101 en base 50+101n (50, 151, 252, ...) :

1/101 en base 50 = 0,0-24-37-31-9-20-14-42-28-35-32-8-45-27-11-19-15-17-16-16-41-29-10-19-40-4-47-26-11-44-2-48-25-37-6-21-39-5-22-13-43-3-23-13-18-15-42-3-48-0===49-25-12-18-40-29-35-7-21-14-17-41-4-22-38-30-34-32-33-33-8-20-39-30-9-45-2-23-38-5-47-1-24-12-43-28-10-44-27-36-6-46-26-36-31-34-7-46-1-49...

1/101 en base 151 = 0,1-74-113-94-28-61-44-128-86-107-97-26-137-82-34-58-46-52-49-50-125-88-31-59-121-14-143-79-35-133-8-146-77-112-19-65-118-16-67-41-130-10-70-40-55-47-127-11-145-2===149-76-37-56-122-89-106-22-64-43-53-124-13-68-116-92-104-98-101-100-25-62-119-91-29-136-7-71-115-17-142-4-73-38-131-85-32-134-83-109-20-140-80-110-95-103-23-139-5-148...

1/101 en base 252 = 0,2-124-189-157-47-102-74-214-144-179-162-44-229-137-57-97-77-87-82-84-209-147-52-99-202-24-239-132-59-222-14-244-129-187-32-109-197-27-112-69-217-17-117-67-92-79-212-19-242-4===249-127-62-94-204-149-177-37-107-72-89-207-22-114-194-154-174-164-169-167-42-104-199-152-49-227-12-119-192-29-237-7-122-64-219-142-54-224-139-182-34-234-134-184-159-172-39-232-9-247...

Et de manière générale en base 50+101n :

[n][24+50n][37+76n][31+63n][9+19n][20+41n][14+30n][42+86n][28+58n][35+72n][32+65n][8+18n][45+92n][27+55n][11+23n][19+39n][15+31n][17+35n][16+33n][16+34n][41+84n][29+59n][10+21n][19+40n][40+81n][4+10n][47+96n][26+53n][11+24n][44+89n][2+6n][48+98n][25+52n][37+75n][6+13n][21+44n][39+79n][5+11n][22+45n][13+28n][43+87n][3+7n][23+47n][13+27n][18+37n][15+32n][42+85n][3+8n][48+97n][2n]===[49+100n][25+51n][12+25n][18+38n][40+82n][29+60n][35+71n][7+15n][21+43n][14+29n][17+36n][41+83n][4+9n][22+46n][38+78n][30+62n][34+70n][32+66n][33+68n][33+67n][8+17n][20+42n][39+80n][30+61n][9+20n][45+91n][2+5n][23+48n][38+77n][5+12n][47+95n][1+3n][24+49n][12+26n][43+88n][28+57n][10+22n][44+90n][27+56n][36+73n][6+14n][46+94n][26+54n][36+74n][31+64n][34+69n][7+16n][46+93n][1+4n][49+99n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 50 modulo 101

Calcul de 1/101 en base 99+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 99+101n. La série est alors :

1-99-4-93-16-69-64-74-54-94-14-73-56-90-22-57-88-26-49-3-95-12-77-48-5-91-20-61-80-42-17-67-68-66-70-62-78-46-9-83-36-29-43-15-71-60-82-38-25-51===100-2-97-8-85-32-37-27-47-7-87-28-45-11-79-44-13-75-52-98-6-89-24-53-96-10-81-40-21-59-84-34-33-35-31-39-23-55-92-18-65-72-58-86-30-41-19-63-76-50

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 50+101n.

Calculons 1/101 en base : 99, 200, 301, ...(99+101n) :

1/101 en base 99 = 0,0-97-3-91-15-67-62-72-52-92-13-71-54-88-21-55-86-25-48-2-93-11-75-47-4-89-19-59-78-41-16-65-66-64-68-60-76-45-8-81-35-28-42-14-69-58-80-37-24-49===98-1-95-7-83-31-36-26-46-6-85-27-44-10-77-43-12-73-50-96-5-87-23-51-94-9-79-39-20-57-82-33-32-34-30-38-22-53-90-17-63-70-56-84-29-40-18-61-74-49...

1/101 en base 200 = 0,1-196-7-184-31-136-126-146-106-186-27-144-110-178-43-112-174-51-97-5-188-23-152-95-9-180-39-120-158-83-33-132-134-130-138-122-154-91-17-164-71-57-85-29-140-118-162-75-49-100===198-3-192-15-168-63-73-53-93-13-172-55-89-21-156-87-25-148-102-194-11-176-47-104-190-19-160-79-41-116-166-67-65-69-61-77-45-108-182-35-128-142-114-170-59-81-37-124-150-99...

1/101 en base 301 = 0,2-295-11-277-47-205-190-220-160-280-41-217-166-268-65-169-262-77-146-8-283-35-229-143-14-271-59-181-238-125-50-199-202-196-208-184-232-137-26-247-107-86-128-44-211-178-244-113-74-151===298-5-289-23-253-95-110-80-140-20-259-83-134-32-235-131-38-223-154-292-17-265-71-157-286-29-241-119-62-175-250-101-98-104-92-116-68-163-274-53-193-214-172-256-89-122-56-187-226-149...

Et de manière générale en base 99+101n :

[n][97+99n][3+4n][91+93n][15+16n][67+69n][62+64n][72+74n][52+54n][92+94n][13+14n][71+73n][54+56n][88+90n][21+22n][55+57n][86+88n][25+26n][48+49n][2+3n][93+95n][11+12n][75+77n][47+48n][4+5n][89+91n][19+20n][59+61n][78+80n][41+42n][16+17n][65+67n][66+68n][64+66n][68+70n][60+62n][76+78n][45+46n][8+9n][81+83n][35+36n][28+29n][42+43n][14+15n][69+71n][58+60n][80+82n][37+38n][24+25n][49+51n]===[98+100n][1+2n][95+97n][7+8n][83+85n][31+32n][36+37n][26+27n][46+47n][6+7n][85+87n][27+28n][44+45n][10+11n][77+79n][43+44n][12+13n][73+75n][50+52n][96+98n][5+6n][87+89n][23+24n][51+53n][94+96n][9+10n][79+81n][39+40n][20+21n][57+59n][82+84n][33+34n][32+33n][34+35n][30+31n][38+39n][22+23n][53+55n][90+92n][17+18n][63+65n][70+72n][56+58n][84+86n][29+30n][40+41n][18+19n][61+63n][74+76n][49+50n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 99 modulo 101

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 50+101n.

Constatons que 50x99 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101