Pourquoi les périodes de n/101 en base 53+101n se regroupent elles en cette série ?

1-53-82-3-58-44-9-73-31-27-17-93-81-51-77-41-52-29-22-55-87-66-64-59-97-91-76-89-71-26-65-11-78-94-33-32-80-99-96-38-95-86-13-83-56-39-47-67-16-40===100-48-19-98-43-57-92-28-70-74-84-8-20-50-24-60-49-72-79-46-14-35-37-42-4-10-25-12-30-75-36-90-23-7-68-69-21-2-5-63-6-15-88-18-45-62-54-34-85-61

Calculons 1/101 en base 53+101n (53, 154, 255, ...) :

1/101 en base 53 = 0,0-27-43-1-30-23-4-38-16-14-8-48-42-26-40-21-27-15-11-28-45-34-33-30-50-47-39-46-37-13-34-5-40-49-17-16-41-51-50-19-49-45-6-43-29-20-24-35-8-20===52-25-9-51-22-29-48-14-36-38-44-4-10-26-12-31-25-37-41-24-7-18-19-22-2-5-13-6-15-39-18-47-12-3-35-36-11-1-2-33-3-7-46-9-23-32-28-17-44-32...

1/101 en base 154 = 0,1-80-125-4-88-67-13-111-47-41-25-141-123-77-117-62-79-44-33-83-132-100-97-89-147-138-115-135-108-39-99-16-118-143-50-48-121-150-146-57-144-131-19-126-85-59-71-102-24-60===152-73-28-149-65-86-140-42-106-112-128-12-30-76-36-91-74-109-120-70-21-53-56-64-6-15-38-18-45-114-54-137-35-10-103-105-32-3-7-96-9-22-134-27-68-94-82-51-129-93...

1/101 en base 255 = 0,2-133-207-7-146-111-22-184-78-68-42-234-204-128-194-103-131-73-55-138-219-166-161-148-244-229-191-224-179-65-164-27-196-237-83-80-201-249-242-95-239-217-32-209-141-98-118-169-40-100===252-121-47-247-108-143-232-70-176-186-212-20-50-126-60-151-123-181-199-116-35-88-93-106-10-25-63-30-75-189-90-227-58-17-171-174-53-5-12-159-15-37-222-45-113-156-136-85-214-154...

Et de manière générale en base 53+101n :

[n][27+53n][43+82n][1+3n][30+58n][23+44n][4+9n][38+73n][16+31n][14+27n][8+17n][48+93n][42+81n][26+51n][40+77n][21+41n][27+52n][15+29n][11+22n][28+55n][45+87n][34+66n][33+64n][30+59n][50+97n][47+91n][39+76n][46+89n][37+71n][13+26n][34+65n][5+11n][40+78n][49+94n][17+33n][16+32n][41+80n][51+99n][50+96n][19+38n][49+95n][45+86n][6+13n][43+83n][29+56n][20+39n][24+47n][35+67n][8+16n][20+40n]===[52+100n][25+48n][9+19n][51+98n][22+43n][29+57n][48+92n][14+28n][36+70n][38+74n][44+84n][4+8n][10+20n][26+50n][12+24n][31+60n][25+49n][37+72n][41+79n][24+46n][7+14n][18+35n][19+37n][22+42n][2+4n][5+10n][13+25n][6+12n][15+30n][39+75n][18+36n][47+90n][12+23n][3+7n][35+68n][36+69n][11+21n][1+2n][2+5n][33+63n][3+6n][7+15n][46+88n][9+18n][23+45n][32+62n][28+54n][17+34n][44+85n][32+61n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-53-82-3-58-44-9-73-31-27-17-93-81-51-77-41-52-29-22-55-87-66-64-59-97-91-76-89-71-26-65-11-78-94-33-32-80-99-96-38-95-86-13-83-56-39-47-67-16-40===100-48-19-98-43-57-92-28-70-74-84-8-20-50-24-60-49-72-79-46-14-35-37-42-4-10-25-12-30-75-36-90-23-7-68-69-21-2-5-63-6-15-88-18-45-62-54-34-85-61

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 53 modulo 101 

Calcul de 1/101 en base 61+101n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 61+101n. La série est alors :

1-61-85-34-54-62-45-18-88-15-6-63-5-2-21-69-68-7-23-90-36-75-30-12-25-10-4-42-37-35-14-46-79-72-49-60-24-50-20-8-84-74-70-28-92-57-43-98-19-48===100-40-16-67-47-39-56-83-13-86-95-38-96-99-80-32-33-94-78-11-65-26-71-89-76-91-97-59-64-66-87-55-22-29-52-41-77-51-81-93-17-27-31-73-9-44-58-3-82-53

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 53+101n.

Calculons 1/101 en base : 61, 162, 263, ...(61+101n) :

1/101 en base 61 = 0,0-36-51-20-32-37-27-10-53-9-3-38-3-1-12-41-41-4-13-54-21-45-18-7-15-6-2-25-22-21-8-27-47-43-29-36-14-30-12-4-50-44-42-16-55-34-25-59-11-28===60-24-9-40-28-23-33-50-7-51-57-22-57-59-48-19-19-56-47-6-39-15-42-53-45-54-58-35-38-39-52-33-13-17-31-24-46-30-48-56-10-16-18-44-5-26-35-1-49-32...

1/101 en base 162 = 0,1-97-136-54-86-99-72-28-141-24-9-101-8-3-33-110-109-11-36-144-57-120-48-19-40-16-6-67-59-56-22-73-126-115-78-96-38-80-32-12-134-118-112-44-147-91-68-157-30-76===160-64-25-107-75-62-89-133-20-137-152-60-153-158-128-51-52-150-125-17-104-41-113-142-121-145-155-94-102-105-139-88-35-46-83-65-123-81-129-149-27-43-49-117-14-70-93-4-131-85...

1/101 en base 263 = 0,2-158-221-88-140-161-117-46-229-39-15-164-13-5-54-179-177-18-59-234-93-195-78-31-65-26-10-109-96-91-36-119-205-187-127-156-62-130-52-20-218-192-182-72-239-148-111-255-49-124===260-104-41-174-122-101-145-216-33-223-247-98-249-257-208-83-85-244-203-28-169-67-184-231-197-236-252-153-166-171-226-143-57-75-135-106-200-132-210-242-44-70-80-190-23-114-151-7-213-138...

Et de manière générale en base 61+101n :

[n][36+61n][51+85n][20+34n][32+54n][37+62n][27+45n][10+18n][53+88n][9+15n][3+6n][38+63n][3+5n][1+2n][12+21n][41+69n][41+68n][4+7n][13+23n][54+90n][21+36n][45+75n][18+30n][7+12n][15+25n][6+10n][2+4n][25+42n][22+37n][21+35n][8+14n][27+46n][47+79n][43+72n][29+49n][36+60n][14+24n][30+50n][12+20n][4+8n][50+84n][44+74n][42+70n][16+28n][55+92n][34+57n][25+43n][59+98n][11+19n][28+48n]===[60+100n][24+40n][9+16n][40+67n][28+47n][23+39n][33+56n][50+83n][7+13n][51+86n][57+95n][22+38n][57+96n][59+99n][48+80n][19+32n][19+33n][56+94n][47+78n][6+11n][39+65n][15+26n][42+71n][53+89n][45+76n][54+91n][58+97n][35+59n][38+64n][39+66n][52+87n][33+55n][13+22n][17+29n][31+52n][24+41n][46+77n][30+51n][48+81n][56+93n][10+17n][16+27n][18+31n][44+73n][5+9n][26+44n][35+58n][1+3n][49+82n][32+53n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-61-85-34-54-62-45-18-88-15-6-63-5-2-21-69-68-7-23-90-36-75-30-12-25-10-4-42-37-35-14-46-79-72-49-60-24-50-20-8-84-74-70-28-92-57-43-98-19-48===100-40-16-67-47-39-56-83-13-86-95-38-96-99-80-32-33-94-78-11-65-26-71-89-76-91-97-59-64-66-87-55-22-29-52-41-77-51-81-93-17-27-31-73-9-44-58-3-82-53

Qui partage le cercle en 101 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 61 modulo 101 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 53+101n.

Constatons que 53x61 admet 1 pour reste dans la division par 101 et qu'ils sont alors inverses dans Z101